Topología de grupo de indicadores

Absolutamente. Hay muchas circunstancias en las que la topología tiene implicaciones importantes para las teorías de calibre.

Quizás el ejemplo más notable se refiere a la clasificación de solitones en una teoría de medida que se ha sometido al mecanismo de Higgs. Si un grupo de indicadores$G$está elevado a un subgrupo$H$por un campo escalar$\phi$, uno puede intentar encontrar configuraciones de campo estables que no se puedan deformar continuamente a la configuración de vacío (sin un costo infinito en energía). Para una configuración de campo de energía finita en$\mathbb{R}^{d-1}\times \mathbb{R}_\text{time}$,$\phi$debe asíntota a una configuración de energía cero en el límite del espacio. Después$\phi$define un mapa de una esfera infinitamente grande en el espacio$S^{d-2}$a$G/H$. Estos mapas están clasificados por$\pi_{d-2}(G/H)$.

El ejemplo más simple aparece en el modelo de Abelian Higgs en$2+1$dimensiones. Tenemos una teoría de norma U(1) con la acción

$$S = \int \mathrm{d}^3 x\, \left [ - \frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + |D_\mu \phi|^2 - V(|\phi|) \right],$$ con $$V(|\phi|) = \frac{\lambda}{4} (|\phi|^2 - v^2)^2.$$ Los mínimos clásicos ocurren para $|\phi| = v$, y la simetría de norma es completamente Higgsed. El hamiltoniano es $$H = \int \mathrm{d}^2\mathbf{x} \left[\frac{1}{2} (E^2 + B^2)+ |D_i \phi|^2 + V(|\phi|) \right].$$ Buscamos una configuración de campo que no se pueda deformar continuamente a la solución de vacío. Si la configuración debe tener energía finita, $V(|\phi|)$debe ir a cero en el infinito espacial, por lo que $|\phi|$debe acercarse $v$. la fase de $\phi$no es fijo, sin embargo, $$\phi(r,\theta) \overset{r\to\infty}{\longrightarrow} v e^{i\sigma(\theta)}.$$ De este modo, $\phi$define un mapa desde el círculo en el infinito espacial hasta U(1), y así define una clase $[\phi]\in\pi_1(U(1))=\mathbb{Z}$. Este entero es el número sinuoso del mapa. $\phi$. Como un entero no puede cambiar continuamente bajo deformaciones continuas de $\phi$, una configuración de campo con número de devanado distinto de cero no puede deformarse continuamente a la configuración de vacío (que tiene número de devanado cero). Por supuesto, también se debe tener cuidado de ver que los términos restantes en el hamiltoniano son finitos. Una vez hecho esto, se puede deformar esta configuración de campo topológicamente no trivial hasta que se minimice la energía y obtener así una configuración de campo estable que no esté conectada al vacío. Este solitón se llama vórtice. Para obtener más detalles, consulte, por ejemplo , Preskill, Lectures on Vortices and Monopoles .

Daré otra aplicación de ejemplo, algo más abstracta. Una teoría de calibre con grupo de calibre$G$sobre una variedad de espacio-tiempo$M$es descrito matemáticamente por un director$G$-paquete$P$sobre$M$,$G \to P \to M$. Tal paquete se clasifica por clases características en los grupos de cohomología$\left\{H^k(M,\pi_{k-1}(G))\right\}_{k=1}^{\dim M}$. Para una variedad de cuatro dimensiones, estos son los grupos

$$H^1(M,\pi_0(G))\\ H^2(M,\pi_1(G))\\H^3(M,\pi_2(G))\\H^4(M,\pi_3(G)).$$ Deje que el grupo de calibre esté conectado, de modo que $\pi_0(G) = 0$y $H^1(M,\pi_0(G)) = 0$. Para cualquier grupo de mentira $G$, $\pi_2(G) = 0$, asi que $H^3(M,\pi_2(G))$también es irrelevante. Para todos los grupos de Lie clásicos $\pi_3(G) = \mathbb{Z}$(excepto por $G = \mathrm{SO(4)}$). Entonces la clase en $H^4(M,\mathbb{Z})$especifica el número de instante del paquete.

Finalmente, tenemos$H^2(M,\pi_1(G))$. Si el grupo de calibres no está simplemente conectado ($\pi_1(G) \neq 0$), una clase de este grupo proporciona datos topológicos adicionales necesarios para especificar la teoría de calibre más allá del número de instanten habitual. Una clase característica en este grupo se denomina flujo magnético discreto o flujo de 't Hooft de la teoría de calibre. Para más información sobre este tipo de ideas, véase, por ejemplo , Witten, Supersimetric Index in Four-Dimensional Gauge Theories .