Hausdorff segundos espacios YYY contables localmente

Aquí hay una respuesta completa para el caso en el que$Y$es compacto, el espacio$\mathbb{P}$de números irracionales, o$\mathbb{Q}$.

Si usted requiere$Y$para ser compacto, es cierto que$M$es homeomorfo a una unión disjunta de, como mucho, muchas copias contables de$Y$. Para probar esto, observe primero que cada punto de$Y$debe tener un homeomorfo nbhd abierto compacto para$Y$, y en particular$Y$debe ser de dimensión cero. Si$Y$es un singleton,$M$es discreta y por lo tanto es la unión disjunta de copias de$Y$ $-$a lo sumo$\omega$copias, ya que$M$es segundo contable.

Si$Y$es infinito, no puede tener puntos aislados; un segundo espacio de Hausdorff compacto contable es metrizable, por lo que debe ser un espacio compacto metrizable de dimensión cero sin puntos aislados, es decir, un conjunto de Cantor.$M$es Lindelöf, por lo que tiene una cubierta abierta contable$\{U_n:n\in\omega\}$por conjuntos de Cantor. Para$n\in\omega$colocar

Para un ejemplo no compacto podemos tomar$Y=\mathbb{P}$, el espacio de los números irracionales con la topología habitual. Desde$Y$es de dimensión cero, podemos argumentar como antes que hay una partición de$M$a lo sumo$\omega$copias de los irracionales. Pero es bien sabido que$\mathbb{P}\approx\omega^\omega$con la topología del producto, entonces$\omega\times\mathbb{P}\approx\mathbb{P}$, y$M$debe ser homeomorfo a$Y$.

Si$Y=\mathbb{Q}$, segunda contabilidad de$M$asegura que$M$es contable. De este modo,$M$es un espacio contable, metrizable sin puntos aislados y como tal es homeomorfo a$\mathbb{Q}$.

Para obtener una respuesta más interesante, debe modificar la noción de vecindario que está utilizando. Siguiendo a Bourbaki, un barrio de un punto$x$en un espacio topológico$X$es un subconjunto$N\subset X$tal que existe un subconjunto abierto$U\subset X$tal que$x\in U\subset N$. Con esto en mente, un$n$La variedad bidimensional (posiblemente con límite) es un espacio topológico (segundo numerable, Hausdorff) tal que cada punto en$X$admite una base formada por vecindades homeomorfas al cerrado$n$-bola adentro$R^n$.

Del mismo modo, un$n$La variedad de Menger -dimensional es un espacio topológico (segundo numerable, Hausdorff) tal que cada punto en$X$admite una base formada por vecindades homeomorfas a la$n$espacio de Menger -dimensional$\mu^n$. La teoría de las variedades de Menger es bastante rica e interesante.

Ver por ejemplo

Kazuhiro Kawamura, "Un estudio sobre la teoría de la variedad de Menger: actualización" , Topología y sus aplicaciones 101 (2000) 83–91.

Del mismo modo, se define$Q$-variedades (localmente homeomorfas al cubo de Hilbert). Esta teoría es nuevamente bastante interesante y, en cierto modo, similar pero más simple que la teoría de las variedades topológicas.