Estoy escribiendo una tesis en el contexto de la complejidad descriptiva en informática teórica y, por lo tanto, necesito estudiar un poco de teoría de grafos. Mi experiencia no es matemática sino informática con un gran interés en las matemáticas (lo que significa que no he escuchado conferencias avanzadas pero me siento cómodo aprendiendo más). El enfoque aquí es el trasfondo teórico de los gráficos planos. Mi punto de partida es el capítulo de gráficos planos en Diestel 2005 .
Una superficie es un espacio topológico compacto de Hausdorf conectado en el que todo punto tiene una vecindad homeomorfa al plano euclidiano . Un arco, un círculo y un disco en son subconjuntos que son homeomorfos en la topología del subespacio al intervalo real , al círculo unitario , y al disco de la unidad , respectivamente.
Estas definiciones se utilizan más tarde para definir gráficos planos, gráficos planos. También se utilizan otros conceptos como isomorfismos topológicos.
Encontré todas las definiciones en Wikipedia y sé lo que dicen . Desafortunadamente no tengo intuición de lo que significan. Por ejemplo, supongo que un arco es una curva continua que no se cruza con él. Mi pregunta no es qué significan las definiciones, sino cuál es un buen punto de partida para aprender sobre topología desde una perspectiva informática (con poco conocimiento previo) en el contexto de la teoría de grafos y cuánto se necesita realmente. ¿Es posible tomar estas cosas de topología como cajas negras o es importante entenderlas?
Parece que te estás metiendo en la teoría de gráficos topológicos, que se refiere principalmente a incrustar gráficos en superficies. El estudio de gráficos planares es un caso especial de esto donde los gráficos se incrustan en el plano. Entonces, en la teoría de grafos topológicos, por ejemplo, también podría estudiar gráficos que podrían estar incrustados sin enlaces en un toro.
De ninguna manera soy un experto en este tema, pero apuesto a que si eliges Topología de superficies (que es bastante suave para un libro de topología), podrías manejar lo suficientemente bien el lado topológico de las cosas para volver a Diestel y continúe donde lo dejó.
Encontré las notas de topología computacional de Jeff Erickson muy útiles cuando comencé con un requisito similar de aprender sobre topología desde una perspectiva informática .
Si realmente tiene una buena idea de lo que es un homeomorfismo, puede comprender la mayoría de estas definiciones con bastante facilidad. Un homeomorfismo es el equivalente de un isomorfismo para espacios topológicos: si dos espacios y son homeomorfos, entonces esencialmente "se ven iguales". Por ejemplo, cualquier intervalo cerrado es homeomorfo al intervalo unitario , y un cuadrado cerrado de cualquier tamaño en es homeomorfo al disco unidad. Los homeomorfismos recuerdan las propiedades esenciales de los espacios, como "agujeros" y "dimensión", pero olvidan cosas como si un espacio tiene o no "esquinas" (en general, el homeomorfismo no recuerda la "forma" real).
Entonces, cuando piensa en las últimas definiciones que da, puede pensar en arcos, discos y círculos como incrustaciones del intervalo unitario, el disco unitario y el círculo unitario en otros espacios euclidianos de dimensiones superiores, lo que permite que los objetos se estiren y tuerzan. y deformado sin rasgar o alterar esencialmente la estructura de los espacios originales (presumiblemente estará trabajando en espacios euclidianos, pero si no, se aplica la misma idea).
En cuanto a las superficies, es posible que desee algunos ejemplos en mente. Esferas, elipsoides y cubos (sin el interior) son todas superficies según esta definición. Una superficie (al menos en va a ser cerrado, acotado (esto es equivalente a compacto en ) objeto que es "bidimensional", lo que significa que si elige un punto y hace zoom, básicamente se verá como (también conocido como, cada punto tiene una vecindad homeomorfa a ).
Las cosas pueden volverse un poco más extrañas en espacios no euclidianos, pero si tiene en cuenta los ejemplos y realiza un seguimiento de sus definiciones, no puede equivocarse. ¡Buena suerte!
joaquín