Conexiones de topología y teoría de modelos

Puede comenzar leyendo el artículo de Alan Dow:

Dow, A. Introducción a las aplicaciones de submodelos elementales a la topología. Proceso de topología 13 (1988), núm. 1, 17–72. MR1031969

Como mencionas o-minimalidad, pensé que debería mencionar que esta área de la teoría de modelos está estrechamente relacionada con (¿generalizaciones de?) Geometría semialgebraica y geometría algebraica real. En particular, las técnicas de o-minimalidad se han utilizado para avanzar en la resolución de la conjetura de Andre-Oort, me refiero al artículo de Jonathon Pila llamado "O-minimalidad y la conjetura de Andre-Oort para$\mathbb{C}^n$". Para artículos introductorios sobre este tema, sugiero un artículo de Thomas Scanlon llamado "O-minimality as an approach to the Andre-Oort conjecture" que se puede encontrar en la página web académica de Scanlon.

También me gustaría mencionar otra área de la teoría de modelos relacionada con el análisis. Se llama la Teoría Modelo de Estructuras Métricas. En esta teoría de modelos, uno cambia la lógica particular que está usando y la definición de estructura. Las estructuras en esta teoría ahora son espacios métricos completos, los conectivos son funciones de valor real uniformemente continuas, etc. Puede encontrar una introducción en línea (legalmente) de forma gratuita. Olvidé a los autores, pero solo busque "Teoría del modelo para estructuras métricas".

Finalmente, también hay una cosa llamada teoría del modelo topológico, que fue propuesta por primera vez por Anand Pillay (creo). Hay notas de conferencias de Ziegler llamadas "Teoría del modelo topológico" publicadas por Springer. Estoy seguro de que puedes encontrar esto en la biblioteca de tu universidad.

Divertirse

Los ejemplos más obvios provienen de considerar el espacio de Stone de tipos completos sobre una teoría completa. Por ejemplo:

1. La compacidad del espacio de Stone está estrechamente relacionada con la compacidad de la lógica de primer orden.
2. Cualquier subconjunto del espacio de Stone se puede omitir simultáneamente si es escaso (y la prueba que conozco incluso de la versión más simple de omitir el teorema de tipos usa el teorema de categoría de Baire).
3. Las fórmulas y los conjuntos definibles corresponden exactamente a los subconjuntos abiertos del espacio Stone.
4. El rango de Morley de una fórmula es igual al rango de Cantor-Bendixson del conjunto cerrado definido por ella (dentro de un espacio de Stone sobre un$\aleph_0$-estructura saturada), de manera similar la multiplicidad.
5. Los conjuntos definibles por tipo son subconjuntos cerrados del espacio Stone (aunque en este momento no estoy seguro de si lo contrario es cierto).

Para un sabor diferente, más geométrico de ejemplos:

1. El grupo de automorfismos de cualquier modelo tiene estructura natural de grupo topológico (con conjuntos abiertos definidos fijando las imágenes y preimágenes de tuplas finitas).
2. Para modelos contables, el grupo es, de hecho, polaco.
3. Para modelos contables saturados es isomorfo al grupo de Baire$\omega^\omega$.

Para ejemplos diferentes pero de tipo, hasta donde yo sé, la teoría de los grupos algebraicos se generaliza a grupos definibles (de rango finito de Morley, creo) en teorías adecuadas (pero no sé casi nada al respecto, así que no daré más detalles) .

Un tipo de uso diferente pero diferente de la topología proviene de algunas teorías particulares relacionadas con espacios topológicos particulares. Por ejemplo, si queremos mostrar algo sobre campos cerrados reales, a menudo solo necesitamos trabajar con números reales, y si queremos mostrar algo sobre campos cerrados algebraicamente de característica$0$, solo necesitamos trabajar con los números complejos. Ambos vienen con su topología natural y, a veces, se pueden usar para mostrar algunos hechos (de primer orden) que de otro modo serían difíciles de probar.