¿Puedes transformar el denominador de cada término en una serie infinita?

El artículo de Wikipedia dice que la función zeta de Hurwitz

En matemáticas, la función zeta de Hurwitz es una de las muchas funciones zeta. Se define formalmente para variables complejas.$\,s\,$con$\,\Re(s)>1\,$y$\,a\ne 0,-1,-2,\dots\,$por

$$\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}.$$

Tu escribiste

Mi pregunta es si puedes convertir cada término en una serie de potencias infinitas de$n$a$an+b$.

En general, no. Por eso se necesita la función zeta de Hurwitz para generalizar la función zeta de Riemann. En algunos casos especiales, es posible obtener resultados. El artículo de Wikipedia dice

Si$\,a=1\,$la función zeta de Hurwitz se reduce a la propia función zeta de Riemann; si$\,a=1/2\,$se reduce a la función zeta de Riemann multiplicada por una función simple del argumento complejo$\,s.$

Como primer paso, si$\,a\ne 0,\,$es facil de conseguir

Un resultado simple es que si$\,k>0\,$es un entero, entonces

Si tenemos algo como seguir

entonces

Por ej. En tu caso$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$, entonces$\displaystyle\frac{1}{16}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{96}\implies \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{16n^2}=\frac{\pi^2}{96}$

Por lo tanto, puede pasar de$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$a$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(an)^2}$pero no en general a$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(an+b)^2}$