Demostración del radio de convergencia para series de potencias

Estoy trabajando para probar la siguiente afirmación:

Si$\lim \limits_{k \to \infty} \lvert \frac{a_k}{a_{k+1}}\rvert$existe entonces la serie de potencias$\sum_{k=0}^\infty a_kx^k$tiene el radio de convergencia

$$R= \lim \limits_{k \to \infty} \lvert \frac{a_k}{a_{k+1}}\rvert$$

Entonces, la prueba en mi libro me está confundiendo mucho. Entiendo que comienza usando la prueba de la razón:

$$y=\lim \limits_{k \to \infty}\lvert\frac{a_{k+1}x^{k+1}}{a_{k}x^k}\rvert = \frac{\rvert x \lvert}{1}\lim \limits_{k \to \infty}\lvert\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\rvert = \frac{\lvert x\rvert}{R}$$

Entiendo que puedo usar la prueba de la razón para ver dónde converge la serie. Entonces, el libro de texto está conectando la serie de potencias en la prueba de la razón. veo que$\lvert \frac{x^{k+1}}{x^k}\rvert=\lvert x \rvert$pero lo que no veo es cómo:

$$\lim \limits_{k \to \infty}\lvert\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\rvert = \frac{1}{R}$$

Luego establece que si$\frac{\lvert x \lvert}{R}<1$la serie es absolutamente convergente y si$\frac{\lvert x \lvert}{R}>1$la serie es divergente.

Cualquier pista sobre por qué el límite es igual$\frac{1}{R}$sería muy apreciado.