Comparar coeficientes en una serie

Question

Comparar coeficientes en una serie

Matemáticas
serie de poder
secuencias y series

Amanda Guimaraes Melo

Considere la siguiente expresión:

$-\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{u_0-1}{u_0}\right)^nnE_\alpha(-nk^\alpha t^\alpha) = \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{u_0-1}{u_0}\right)^n\left(E_\alpha(-nk^\alpha t^\alpha)-\sum_{j=0}^n E_\alpha(-(n-j)k^\alpha t^\alpha)E_\alpha(-j k^\alpha t^\alpha)\right),$

dónde $\alpha \in (0,1), t \geq 0, k \text{ is a constant} \text{ and } E_\alpha(z) = \displaystyle \sum_{m=0}^{\infty}\frac{z^k}{\Gamma(\alpha m + 1)} \text{ is the Mittag Leffler function.}$

En un artículo que estoy estudiando, el autor concluye de esto lo siguiente:

(norte + 1) {mi}_{α} (- norte k^{α} t^{α}) = \sum_{j = 0}^{norte} {mi}_{α} (- (norte - j) k^{α} t^{α}) {mi}_{α} (- j k^{α} t^{α})

$(n+1)E_\alpha(-nk^\alpha t^\alpha) = \displaystyle \sum_{j=0}^n E_\alpha(-(n-j)k^\alpha t^\alpha)E_\alpha(-j k^\alpha t^\alpha)$

No sé cómo concluye esto. Sospecho que usaron alguna propiedad que involucraba la igualdad de series con los coeficientes.

¿Alguien puede ayudarme?

rschwieb

Saludos: Por lo general, no es recomendable decir "He leído esto en un artículo y..." sin mencionar también la cita del artículo. Muy a menudo se trata de un contexto importante y no desea paralizar a sus lectores guardándoselo para usted. Gracias

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Comparar coeficientes en una serie

Saludos: Por lo general, no es recomendable decir "He leído esto en un artículo y..." sin mencionar también la cita del artículo. Muy a menudo se trata de un contexto importante y no desea paralizar a sus lectores guardándoselo para usted. Gracias

Benjamín Wang · Answer 1

en tu expresión

$-\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{u_0-1}{u_0}\right)^nnE_\alpha(-nk^\alpha t^\alpha) = \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{u_0-1}{u_0}\right)^n\left(E_\alpha(-nk^\alpha t^\alpha)-\sum_{j=0}^n E_\alpha(-(n-j)k^\alpha t^\alpha)E_\alpha(-j k^\alpha t^\alpha)\right),$

Compara el coeficiente de $\left(\frac{u_0-1}{u_0}\right)^n$ en ambos lados, entonces obtendrás

- norte {mi}_{α} (- norte k^{α} t^{α}) = {mi}_{α} (- norte k^{α} t^{α}) - \sum_{j = 0}^{norte} {mi}_{α} (- (norte - j) k^{α} t^{α}) {mi}_{α} (- j k^{α} t^{α}),

$-nE_\alpha(-nk^\alpha t^\alpha) = E_\alpha(-nk^\alpha t^\alpha)-\sum_{j=0}^n E_\alpha(-(n-j)k^\alpha t^\alpha)E_\alpha(-j k^\alpha t^\alpha),$

que se reorganiza a tu gusto

(norte + 1) {mi}_{α} (- norte k^{α} t^{α}) = \sum_{j = 0}^{norte} {mi}_{α} (- (norte - j) k^{α} t^{α}) {mi}_{α} (- j k^{α} t^{α}) .

$(n+1)E_\alpha(-nk^\alpha t^\alpha) = \displaystyle \sum_{j=0}^n E_\alpha(-(n-j)k^\alpha t^\alpha)E_\alpha(-j k^\alpha t^\alpha).$

Estaba pensando que estas propiedades solo funcionan si los coeficientes de la serie son todos positivos. ¿Puedes dar una referencia?
¡Gracias! Según tu publicación, si $\sum_{n = 1}^{\infty} a_n x^n = \sum_{n = 1}^{\infty} b_n x^n$ converge para $|x| \leq 1$ y para algunos $c \in (0,1]$ tenemos $\sum_{norte = 1}^{\infty} a_{norte} X^{norte} = \sum_{norte = 1}^{\infty} b_{norte} X^{norte} = 0, \forall | X | < C$ $\sum_{n = 1}^{\infty} a_n x^n = \sum_{n = 1}^{\infty} b_n x^n = 0, \forall |x| < c$ entonces podemos concluir que $a_n = b_n$ .
Pero en mi caso, si denotamos $a_{norte} = - norte {mi}_{α} (- norte k^{α} t^{α})$ $a_n = -n E_{\alpha}(-nk^{\alpha}t^{\alpha})$ y $b_{norte} = {mi}_{α} (- norte k^{α} t^{α}) - \sum_{j = 0}^{norte} {mi}_{α} (- (norte - j) k^{α} t^{α}) {mi}_{α} (- j k^{α} t^{α})$ $b_n = E_{\alpha}(-nk^{\alpha}t^{\alpha}) - \sum_{j=0}^{n} E_{\alpha}(-(n-j)k^{\alpha}t^{\alpha}) E_{\alpha}(-j k ^{\alpha} t^{\alpha})$ concluiríamos, por $x_0 = \frac{u_0 - 1}{u_0}$ $\sum_{norte = 1}^{\infty} X_{0}^{norte} a_{norte} = \sum_{norte = 1}^{\infty} X_{0}^{norte} b_{norte} .$ $\sum_{n=1}^{\infty} x_0^{n} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} x_0^{n} b_n .$ en realidad no tengo $\sum_{n=1}^{\infty} x^{n} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} x^{n} b_n$ para cualquier pequeño $x$ .
¿En realidad? ¿Qué tan rápido $E_\alpha$ ¿crecer? Pensé $\frac{u_0-1}{u_0} = 1 - 1/u_0$ . A partir de su contexto, ¿puede suponer $u_0 \in [1,\infty)$ ?

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Amanda Guimaraes Melo

rschwieb

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