Hallar amplitudes de ondas mecánicas resultantes

Question

Hallar amplitudes de ondas mecánicas resultantes

perturbador

Digamos que tengo dos ondas mecánicas arbitrarias $y_1$ y $y_2$ propagándose en una cuerda en la misma dirección .

Las olas $y_1$ y $y_2$ difieren en fase por un ángulo arbitrario $\phi$ y la onda resultante viene dada por la suma de estas dos ondas.

Dada esta información, ¿cómo podemos encontrar la amplitud de la onda resultante?

Dado un problema de esta naturaleza, esto es lo que pensaría hacer:

y (X, t) = y_{1} (X, t) + y_{2} (X, t)

$y(x,t) = y_1(x,t) + y_2(x, t)$

A_{r mi s} C o s (k X - ω t) = A_{1} C o s (k X - ω t) + A_{2} C o s (k X - ω t - ϕ)

$A_{\ res}cos(kx-\omega t) = A_1cos(kx-\omega t) + A_2cos(kx-\omega t -\phi)$

Poniendo x=0. t=0 obtenemos:

$\text{Setting x=0. t=0 we get:}$

A_{r mi s} C o s (0) = A_{1} C o s (0) + A_{2} C o s (0 - ϕ)

$A_{\ res}\ cos(0) = A_1cos(0) + A_2cos(0- \phi)$

⟹ A_{r mi s} = A_{1} + A_{2} C o s (ϕ)

$\implies A_{\ res}= A_1 + A_2cos(\phi)$

Pero esto está mal.

Me parece que mi error es establecer $x=0$ y $t=0$ , pero no estoy seguro de por qué eso estaría mal como $A_{res}$ debe ser constante $\forall\ x, t \in \mathbb{R}^+$ (para todos los valores de $x$ y $t$ , dónde $t \geq 0$ ).

Si $A_{res}$ es constante, entonces no importa el valor de $x$ y $t$ Sustituyo, debería obtener lo mismo $A_{res}$ , reemplazando $x=0$ y $t=0$ , ayuda a eliminar los argumentos innecesarios de las funciones trigonométricas de la ecuación y me permite resolver para $A_{res}.$

Tengo dos preguntas aquí:

P1: ¿ Por qué está configurando $x=0$ y $t=0$ , y resolviendo para $A_{res}$ matemáticamente mal?

P2: ¿Cómo resolvería la amplitud de la onda resultante?

M. Enns

¿Cómo sabes que tu expresión para la amplitud resultante es incorrecta?

perturbador

@METRO. Ends, he usado esta derivación para la Amplitud resultante en algunos problemas de ejemplo (de Fundamentals of Physics), y descubrí que mis respuestas usando

A_{r e s} = A_{1} + A_{2} c o s (ϕ)

$A_{res} = A_1 + A_2cos(\phi)$ eran incorrectos.

Respuestas (2)

Hallar amplitudes de ondas mecánicas resultantes

¿Cómo sabes que tu expresión para la amplitud resultante es incorrecta?
@METRO. Ends, he usado esta derivación para la Amplitud resultante en algunos problemas de ejemplo (de Fundamentals of Physics), y descubrí que mis respuestas usando $A_{res} = A_1 + A_2cos(\phi)$ eran incorrectos.

granjero · Answer 1

Tu error es escribir esta expresión

A_{resolución} porque (k X - ω t) = A_{1} porque (k X - ω t) + A_{2} porque (k X - ω t - ϕ)

$A_{\text{ res}}\cos(kx-\omega t) = A_1\cos(kx-\omega t) + A_2\cos(kx-\omega t -\phi)$

Debería ser

A_{resolución} porque (k X - ω t - ψ) = A_{1} porque (k X - ω t) + A_{2} porque (k X - ω t - ϕ)

$A_{\text{ res}}\cos(kx-\omega t-\psi) = A_1\cos(kx-\omega t) + A_2\cos(kx-\omega t -\phi)$ Tenga en cuenta que la resultante no está en fase con

A_{1} \cos (k x - ω t)

$A_1\cos(kx-\omega t)$

Creo que una forma sencilla de hacer la suma es dibujar un diagrama fasorial y luego usar la regla del coseno y el seno.

gatsu · Answer 2

Lo que está mal es suponer que la suma se leerá $A_{res}\cos(\omega t - kx)$ mientras que, de hecho, la suma debería leerse en general $A_{res}\cos(\omega t - k x + \phi_{res} )$ .

La estrategia consiste en partir de la solución buscada $y_{res}= A_{res}\cos(\omega t - k x + \phi_{res})$ y expandir la función coseno $y_{res} = A_{res}[\cos(\omega t - k x)\cos \phi_{res} -\sin(\omega t -k x )\sin \phi_{res}]$ .

A continuación, debe escribir la suma de ondas exactamente de la misma forma (usando la identidad $\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ ):

y_{1} + y_{2} = A_{1} porque (ω t - k X) + A_{2} porque (ω t - k X) porque ϕ - A_{2} pecado (ω t - k X) pecado ϕ

$\begin{equation} y_1+y_2 = A_1 \cos(\omega t - k x) + A_2 \cos(\omega t -k x)\cos \phi - A_2 \sin(\omega t - k x)\sin \phi \end{equation}$

Deducimos de ello que

A_{r mi s} porque ϕ_{r mi s} = A_{1} + A_{2} porque ϕ; A_{r mi s} pecado ϕ_{r mi s} = A_{2} pecado ϕ

$\begin{equation} A_{res}\cos \phi_{res} = A_1+A_2 \cos \phi; \: A_{res}\sin \phi_{res} = A_2 \sin \phi \end{equation}$

Al elevar al cuadrado y sumar cada término obtenemos que

A_{r mi s}^{2} = (A_{1} + A_{2} porque ϕ)^{2} + A_{2}^{2} ⟹ A_{r mi s} = \pm \sqrt{(A_{1} + A_{2} porque ϕ)^{2} + A_{2}^{2}}

$\begin{equation} A_{res}^2 = (A_1+A_2\cos \phi)^2+A_2^2 \implies \boxed{A_{res} = \pm \sqrt{(A_1+A_2\cos \phi)^2+A_2^2}} \end{equation}$ y tomando la razón de las dos ecuaciones encontramos que:

broncearse ϕ_{r mi s} = \frac{A_{2} pecado ϕ}{A_{1} + A_{2} porque ϕ}

$\begin{equation} \boxed{\tan \phi_{res} = \frac{A_2\sin \phi}{A_1+A_2 \cos \phi}} \end{equation}$

Hallar amplitudes de ondas mecánicas resultantes

perturbador

M. Enns

perturbador

Respuestas (2)

granjero

gatsu

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