Geometría de Schwarzschild, ¿cuál es el significado físico de las coordenadas?

Bueno, dado que la métrica es asintóticamente plana, en$\infty$,$t$y$\tau$de hecho coinciden, por lo que puede ver la coordenada de tiempo$t$como el tiempo medido por un observador inercial en el infinito.

la coordenada radial$r$es en realidad más una coordenada "areal". Considere 2 superficies de constante$t=T_0$y$r=R_0$. Luego, la métrica inducida en las 2 superficies son solo las métricas esféricas

$$ds^2=R_0^2(d\vartheta^2+\sin^2\vartheta d\varphi^2),$$ lo que implica que el área de las 2 superficies es $$\text{Area}(t=T_0,r=R_0)=\iint R_0^2\sin\vartheta\ d\vartheta d\varphi=2\pi R_0^2\cdot[-\cos\vartheta]_{0}^{\pi}=4\pi R_0^2,$$ que es, por supuesto, el área de superficie de 2 esferas en el espacio euclidiano.

Por lo tanto, podemos decir que la$r$La coordenada denota los puntos ocupados por esferas centradas en el origen cuyas áreas de superficie son$4\pi r$.

Porque la parte de la métrica que contiene las coordenadas angulares$\vartheta$y$\varphi$es lo mismo que la métrica esférica en el espacio euclidiano, las coordenadas angulares tienen el significado habitual.

$t$y$\phi$son coordenadas adaptadas a los generadores de simetría de traslación unidimensional en el tiempo y simetría de rotación en$\phi$. El teorema de Noether, en este contexto particular la ecuación de Killing, dicta que las corrientes conservadas están relacionadas con esas simetrías. Las cargas relacionadas son la masa de Komar y el momento angular de Komar. El primero es la masa canónica de la métrica de Schwarzschild y el segundo es cero. Así que un significado "físico" de$t$y$\phi$son esas dos cantidades conservadas.

La típica elección de coordenadas de$r$y$\theta$tiene la consecuencia de que$g_{\phi\phi}=\sin^2(\theta)g_{\theta\theta}$y$g_{\theta\theta}=r^2$lo que hace que la parte angular de la métrica sea la métrica canónica de una esfera y$r$es el radio del área. Esto ha sido señalado por @Uldreth.

Entonces, en cierto modo, la elección típica de coordenadas está claramente ligada a las simetrías del espacio-tiempo y la métrica es relativamente simple. Dicho esto, dependiendo de la aplicación, otras opciones de coordenadas (coordenadas isotrópicas, Gullstrand-Painlevé) son más adecuadas.

Una respuesta decisiva es difícil porque personalmente encuentro esa pregunta bastante vaga porque, en mi opinión, "significado físico" es un término bastante común y, al final, toda la física tiene que ser independiente de la elección de coordenadas.

La distancia física entre las dos coordenadas radiales.$r_1$y$r_2$no es$r_2-r_1$, pero

$$\Delta R=\int_{\text{r1}}^{\text{r2}} \frac{{\rm d}r}{\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}}$$

(whis es más grande que$r_2-r_1$). Sin embargo, la circunferencia física de un caparazón alrededor del agujero negro sigue siendo$2 \pi r$, por lo que los ángulos aún abarcan$2\pi$radianes para un círculo completo en una situación espericamente simétrica, por lo que

1) La distancia radial$r$es de longitud contratada,

2) Los ángulos$\phi$y$\theta$tienen el mismo significado que en coordenadas esféricas estándar,

3) La coordenada de tiempo$t$es la de un observador estacionario lejos del agujero negro cuyos relojes corren más rápido.