¿Cómo sabemos que la solución de Schwarzschild contiene un objeto de masa MMM?

Cantidades conservadas en GR

En GR, la energía (o la masa) suele ser un concepto mal definido. En el espacio-tiempo plano, definimos la energía como la cantidad conservada correspondiente a la simetría traslacional del tiempo. Extender esto a GR es bastante complicado principalmente porque lo que llamamos tiempo ya depende del observador (esto, por supuesto, también es cierto en el espacio-tiempo plano, pero al menos allí tenemos una definición canónica de tiempo dada por observadores inerciales). Un segundo problema en GR es que la traducción del tiempo puede no ser una simetría del espacio-tiempo, lo que hace imposible definir la energía. En particular, recuerde que la métrica en GR es un campo fluctuante, lo que hace que sea doblemente difícil definir vectores Killing temporales cuando el fondo en sí fluctúa.

De todos modos, espero que lo que puedas sacar de esto sea que definir la energía y, de hecho, cualquier cantidad conservada que dependa de las isometrías del espacio-tiempo no es realmente algo de lo que se pueda hablar en relatividad general. ¿Asi que que hacemos? ¿Cómo definimos tales cantidades?

¿Cómo definir la energía en GR?

Una posible solución es ir muy, muy lejos de todas las formas de materia en una región donde solo puede existir radiación. En esta región, conocida como infinito asintótico, el espacio-tiempo es aproximadamente plano, y uno puede esperar definir la energía aquí. En esta región, tenemos una noción bien definida de observadores inerciales a quienes podemos definir el tiempo y, por lo tanto, la energía. La energía/masa así definida se denomina energía ADM (Arnowitt, Deser, Misner) del espacio-tiempo. Describe la masa del sistema medida por un observador inercial sentado en el infinito.

Masa ADM del Agujero Negro de Schwarzschild

Las fórmulas precisas para la masa ADM se pueden leer, por ejemplo, en Carroll. Usando esa fórmula, podemos calcular la masa ADM del agujero negro de Schwarzschild y encontramos que es$M$. Así es como sabemos que la cantidad$M$representa la masa del Agujero Negro de Schwarzschild. En otras palabras, la declaración es, coloque un observador inercial muy lejos del agujero negro y pídale que mida la energía del sistema, lo cual hará en el tiempo que está experimentando. El resultado que encontrarán es que la energía del sistema$=M$.

Una advertencia aquí es que deben asegurarse de que ellos mismos estén en reposo con el agujero negro. Hay una amplia clase de observadores inerciales en el infinito, algunos (en realidad, la mayoría) de los cuales se mueven en relación con el agujero negro. Nos gustaría definir la masa como la energía del sistema en reposo . Por lo tanto, debemos elegir nuestro observador inercial para que el impulso que mida sea cero. En este marco, la energía que mida será la masa. Cuando se hace esto para Schwarzschild, la respuesta que obtenemos es$M$.

Una nota al margen

La masa ADM es lo que normalmente nos gustaría llamar masa de un sistema, excepto que le falta en un aspecto. Un observador inercial en el infinito, no es capaz de medir la energía en forma de radiación gravitatoria o electromagnética que se emite. Por ejemplo, si el agujero negro de Schwarzschild comenzara a irradiar energía a través de ondas gravitacionales y finalmente desapareciera, la masa ADM medida por el observador en el infinito seguiría siendo$M$.

Cuando la radiación gravitacional es importante (por ejemplo, al estudiar la dispersión de ondas gravitacionales) para el problema, una definición más conveniente de la masa es la masa de Bondi$m_B$que se define como la masa medida por un observador Bondi en el infinito. Un observador Bondi es aquel que se mueve a la velocidad de la luz a lo largo del infinito nulo. La masa de Bondi es una función del tiempo (nulo)$m_B(u)$para que capture no solo la masa actual, sino también el cambio de masa del sistema debido a la radiación.

1. Por simplicidad trabajemos en unidades donde la velocidad de la luz$c=1$es igual a uno, y supongamos que no hay una constante cosmológica$\Lambda=0$. Una solución de vacío esféricamente simétrica a la EFE de la forma

   $$\tag{1} ds^2~=~g_{tt}(r)dt^2 + g_{rr}(r)dr^2 +r^2 d\Omega^2,$$ y tal que asintóticamente se convierte en espacio de Minkowski $$\tag{2} -g_{tt}(r\!=\!\infty)~=~ 1~=~g_{rr}(r\!=\!\infty),$$ entonces está dada únicamente por $$\tag{3} -g_{tt}(r)~=~ 1-\frac{R_S}{r} ~=~\frac{1}{g_{rr}(r)},$$ dónde$R_S$es un parámetro de longitud, cf. El teorema de Birkhoff y esta publicación de Phys.SE.

2. Asintóticamente para campos gravitatorios débiles$|\Phi|\ll 1$, es bien sabido que podemos identificar la$tt$-componente de la métrica

   $$\tag{4} -g_{tt}~\approx~e^{2\Phi}~\approx~1+2\Phi, \qquad r\to \infty,$$ con el potencial newtoniano $$\tag{5}\Phi~=~-\frac{GM}{r},$$ dónde$M$es un parámetro de masa, cf. por ejemplo, ref. 1 y 2

3. Comparando ecs. (3), (4) y (5), deducimos una relación

   $$\tag{6} R_S~=~ 2GM$$ entre el parámetro de longitud$R_S$y el parámetro de masa$M$.

4. OP esencialmente está reflexionando si es posible alterar la conclusión anterior (6) al considerar una reparametrización$\bar{r}=f(r)$de la coordenada radial$r$. La respuesta es No. El teorema de Birkhoff y el requisito del espacio asintótico de Minkowski imponen condiciones demasiado fuertes a una reparametrización radial.

Referencias:

1. Sean Carroll, Espacio-tiempo y Geometría: Introducción a la Relatividad General , 2003.

2. Sean Carroll, Lecture Notes on General Relativity , Capítulo 4. El archivo pdf está disponible aquí .

¿Hay otra forma de concluir que la solución de Schwarzschild tiene una masa M?

No es tanto una conclusión como una definición . De Schutz en "Un primer curso de relatividad general", sección 8.4 "Campos gravitacionales newtonianos", páginas 207 - 208 :

Cualquier cuerpo pequeño, por ejemplo un planeta, que cae libremente en el campo gravitatorio de la fuente relativista pero se mantiene alejado de él, seguirá las geodésicas de la métrica, Eq. (8.49), con$\phi$dada por la Ec. (8.59). Pulgada. 7 vimos que estas geodésicas obedecen las leyes de Kepler para el campo gravitacional de un cuerpo de masa$M$. Por lo tanto, definimos esta constante$M$ser la masa total de la fuente relativista.

Note que esta definición no es una integral sobre la fuente: no sumamos las masas de sus partículas constituyentes. En cambio, simplemente medimos su masa - 'pesamos'- por las órbitas que produce en cuerpos de prueba lejanos. Esta definición nos permite escribir la Ec. (8.50) en su forma lejos de cualquier fuente estacionaria:

$$\mathrm{d}s^2 = -[1 - 2M/r + O(r^{-2})]\mathrm{d}t^2 + [1 + 2M/r + O(r^{-2})](\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 + \mathrm{d}z^2)$$

Luego, en la sección 10.4, "La geometría exterior", páginas 257 - 258 , tenemos

Por lo tanto, vemos que la métrica exterior tiene la siguiente forma, llamada métrica de Schwarzschild :

$$\mathrm{d}s^2 = -\left(1 - \frac{2M}{r}\right)\mathrm{d}t^2 + \frac{\mathrm{d}r^2}{1 - \frac{2M}{r}} + r^2\mathrm{d}\Omega^2$$

Para grande$r$, esto se convierte

$$\mathrm{d}s^2 = -\left(1 - \frac{2M}{r}\right)\mathrm{d}t^2 + \left(1 + \frac{2M}{r}\right)\mathrm{d}r^2 + r^2\mathrm{d}\Omega^2$$

Uno puede encontrar coordenadas$(x,y,z)$tal que el suyo se convierte en

$$\mathrm{d}s^2 = -\left(1 - \frac{2M}{R}\right)\mathrm{d}t^2 + \left(1 + \frac{2M}{R}\right)(\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 + \mathrm{d}z^2)$$

dónde$R \equiv (\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 + \mathrm{d}z^2)^{1/2}$. Vemos que esta es la métrica de campo lejano de una estrella de masa total$M$(ver Ec. (8.60)). Esto justifica la definición, Ec. (10.28), y la elección del símbolo$M$.

Una forma de establecer que$r$en coordenadas de Schwarzschild es equivalente a la coordenada radial esférica es su comportamiento asintótico, es decir, para$r\to\infty$la métrica tiende a Minkowski, y la aproximación de campo débil produce el potencial gravitatorio de Newton.

Una forma de establecer que el parámetro$M$es de hecho la masa del espacio-tiempo es calcular la masa de Komar :