Símbolos de Christoffel en coordenadas Kruskal-Szekeres [cerrado]

Los resolví recientemente, y fue una buena cantidad de cálculo obtenerlos, así que pensé que podrían ser útiles para otros.

A lo largo de lo siguiente, dejemos$m=1/2$, entonces el horizonte está en$r=1$, es decir,$r$está en unidades del radio de Schwarzschild. Las regiones exteriores de la extensión máxima del espacio-tiempo de Schwarzschild están en$r>1$, que son las regiones I y III. el interior es$r<1$, regiones II y IV.

La versión de las coordenadas Kruskal-Szekeres que usaré son coordenadas nulas$(V,U)$, equivalente a Hawking y Ellis$(v'/\sqrt2,w'/\sqrt2)$.

Incluso cuando se trabaja en las coordenadas de Kruskal-Szekeres, es conveniente expresar algunas cosas en términos de Schwarzschild.$r$coordenada, que se puede encontrar usando

$$\begin{equation} r = 1+W(-VU/e). \end{equation}$$ Aquí la función$W$es la principal rama real de la función W de Lambert, y$e$es la base de los logaritmos naturales. También es conveniente definir $$\begin{equation} B = \frac{4}{re^r}. \end{equation}$$

la métrica es

$$\begin{equation} ds^2 = B dVdU-r^2 d\Omega^2. \end{equation}$$

Los símbolos de Christoffel son los siguientes:

$$\begin{align} \Gamma^V_{VV} &= (r^{-1}+r^{-2})Ue^{-r} \\ \Gamma^U_{UU} &= (r^{-1}+r^{-2})Ve^{-r} \\ \Gamma^\theta_{V\theta} = \Gamma^\phi_{V\phi} &= -UB/4r \\ \Gamma^\theta_{U\theta} = \Gamma^\phi_{U\phi} &= -UB/4r \\ % \Gamma^V_{\theta\theta} &= -Vr/2 \\ \Gamma^U_{\theta\theta} &= -Ur/2 \\ \Gamma^V_{\phi\phi} &= -(Vr/2) \sin^2\theta \\ \Gamma^U_{\phi\phi} &= -(Ur/2) \sin^2\theta \\ % \Gamma^\theta_{\phi\phi} &= -\sin\theta \cos\theta \\ \Gamma^\phi_{\theta\phi} &= \cot\theta \\ \end{align}$$ Los obtuve calculándolos en el sistema de álgebra computacional Maxima y luego limpiando las expresiones resultantes a mano. Verifiqué numéricamente mis versiones limpias con la salida sin procesar de Maxima para asegurarme de que fueran correctas. Se implementan en un proyecto de software de código abierto llamado karl .

La métrica y los símbolos de Christoffel se comportan mal en el$r=0$singularidades, y también en las singularidades coordinadas en$\theta=0$y$\pi$.

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