Geometría Compleja Generalizada y Física Teórica

Me he estado preguntando acerca de algunos de los diferentes usos de la Geometría Compleja Generalizada (GCG) en Física. Sin entrar en detalles matemáticos (ver la tesis de Gualtieri como referencia), una Geometría Compleja Generalizada intenta unificar la geometría simpléctica y compleja considerando el paquete$TM\oplus T^* M$con su métrica natural$\langle X+\xi, Y+\eta\rangle = \frac{1}{2} \left( \eta(X) + \xi(Y)\right)$y el soporte de Courant .

Los primeros indicios de la necesidad de GCG en física surgieron en un famoso artículo de Gates, Hull y Roc̆ek , en el que encontraron una supersimetría 'extra' en el$(2,2)$modelo supersimétrico. Esta simetría adicional resulta estar relacionada con la especificación de dos estructuras complejas (integrables)$J_1, J_2$que a su vez son covariantemente constantes bajo conexiones torsionales . Esto significa que la variedad no necesita ser Kähler (que es hermítica y libre de torsión) y llevó a Nigel Hitchin (y sus alumnos) a proponer geometrías más generales que podrían ser útiles en física.

Más recientemente, se descubrió una conexión entre GCG y AdS/CFT. Recuerde que en AdS/CFT, consideramos un espacio-tiempo que es un producto deformado de$AdS_4$y una variedad de 6. Resulta que es natural considerar una variedad de 5$Y^5$cuyo cono tiene una geometría especial. Si esta geometría es Calabi-Yau, dicha variedad se conoce como variedad Sasaki-Einstein . Como tal, comenzamos con una métrica de la forma,

$g_{ij} = g_{AdS_5} + g_{Y^5} = e^{2\Delta + \phi/2}r^2 \left(g_{\mathbb{R}^{1,3}} + r^{-4} g_{C(Y^5)} \right)$

dónde$g_{C(Y^5)} = dr^2 + r^2 g_{Y^5}$(el cono métrico de$Y^5$). Si queremos obedecer$\mathcal{N}=1$supersimetría, debemos imponer sobre el dilatino y el gravitino lo que finalmente conduce a una condición sobre los espinores puros. En Geometría Compleja Generalizada,$TM\oplus T^*M$actúa naturalmente como un álgebra de Clifford en el módulo de Clifford$\wedge^{\bullet} T^*M$. Resulta que en esta situación, podemos representar los espinores puros sobre una Variedad Compleja Generalizada como la suma de formas diferenciales de diferente grado (poliformas). Como tales GCG pueden ser buenos candidatos para$C(Y^5)$.

Relacionado con esto está el resultado de Graña, et. al que puede ser mal parafraseado como:

Todos$\mathcal{N}=1$las soluciones de la teoría de cuerdas IIB se describen mediante un par de espinores puros$\Omega_{\pm}$(hasta$B$transform) que satisfacen un par de constantes diferenciales,$d \Omega_+ = 0$,$d\Omega_- = dA \wedge \Omega_+ + \frac{i}{8}e^{3A}e^{-B}\star (F_1 - F_3 + F_5)$, dónde$F_k$es el$k$-flujo de forma y$A = 2\Delta + \phi/2$

Me preguntaba si había otros usos significativos de GCG en física que no haya mencionado. He visto una variedad de documentos que mencionan los GCG, pero fuera de estos ejemplos, no me he sentido particularmente atraído por su uso.

¡Gracias!