¿La esfera compleja de 3 tiene un módulo de estructura complejo?

Estoy completamente de acuerdo con la respuesta de Luboš, pero permítanme agregar un par de comentarios más.

La noción de "Calabi-Yau no compacto" ha sido extremadamente útil en la cadena topológica (e incluso en la cadena física), aunque las reglas del juego no siempre son del todo claras. Ciertamente, uno no quiere considerar, por ejemplo, el espacio obtenido al eliminar un solo punto de un Calabi-Yau compacto como un "Calabi-Yau no compacto" en este sentido. Es posible que deban permitirse todas las variedades Ricci-flat Kahler completas.

Entre los CY no compactos, es casi seguro que desea permitir que se obtengan tomando los límites de escala apropiados de los compactos. De hecho, esta es la forma original en que los CY no compactos entraron en la literatura. En el resto de esta respuesta, intentaré decir qué significa "límite de escala"; si lo que digo es correcto, entonces seguramente está en la literatura en alguna parte, aunque no conozco una referencia de inmediato.

Considera una familia de 1 parámetro de métricas Ricci-flat Kahler$g_t$en algún compacto$X$, mientras$t \to 0$el volumen total de$X$es divergente. También tomas una familia de subconjuntos abiertos$U_t$de$X$, todos equipados con difeomorfismos a algunos fijos$U$. Para cualquier distinto de cero$t$, la métrica inducida$g_t$en$U$está incompleto. Puede suceder, sin embargo, que estas métricas converjan como$t \to 0$a una métrica completa (y aún Ricci-flat Kahler)$g$en$U$. Si esto sucede, entonces$U$es su CY no compacto.

El conifold deformado debería ser un límite de escala de este tipo. En este caso la familia$g_t$se obtendría variando la estructura compleja de$X$de una manera particular. Es decir, deja$L$ser una 3-esfera lagrangiana especial en$X$, y supongamos que tenemos una familia de estructuras complejas en$X$, tal que el período$Z_L = \int_L \Omega$va a cero como$t \to 0$(aquí$\Omega$denota la forma 3 holomorfa en$X$, normalizado de modo que$\int_X \Omega \wedge \bar\Omega = 1$). Entonces deja$g_t$ser una familia de métricas de Kahler compatible con esas estructuras complejas, tal que el volumen total de$L$permanece finito y distinto de cero como$t \to 0$. Finalmente dejamos$U_t$ser un vecindario tubular apropiado de$L$(contratar a$L$como$t \to 0$). Para ser honesto, creo que nunca he visto los detalles de esto resueltos, y podría ser engañoso, ya que implica cierta comprensión de la métrica plana de Ricci en$X$; pero bien puede haber sido hecho en alguna parte. De todos modos, moralmente, la imagen es que estamos variando los módulos de$X$de una manera que$L$colapsa a tamaño cero, y "acercando" el comportamiento muy cerca$L$.

Ahora surge la pregunta: ¿cuáles debemos considerar que son los "módulos" de los no compactos$U$obtenido de esta manera? Supongo que la respuesta correcta es que son todos los módulos que provienen de módulos de$X$. En otras palabras, nuestro espacio de parámetros debe incluir todas las métricas planas de Ricci en$U$que se obtienen de$X$a través de dichos límites, hasta isometrías --- pero aquí me refiero a isometrías que también se extienden a familias de isometrías de 1 parámetro entre las familias de métricas$g_t$en$X$.

En particular, en nuestro ejemplo de$U = T^* S^3$, hay una familia de 1 parámetro de métricas planas de Ricci, recién obtenidas por reescalado general. Los miembros de esta familia no son isométricos ya que dan diferentes volúmenes al Lagrangiano especial$S^3$. Así que hay al menos un módulo real aquí. Lo que quiero afirmar es que si trabajas con "isometrías de módulo" en el sentido anterior, encontrarás que este módulo es realmente complejo. Moralmente, este módulo complejo hace un seguimiento de la relación entre$\int_L \Omega$y algún otro período de$\Omega$, normalizado por la potencia apropiada del volumen total para que permanezca finito en el$t \to 0$límite.

Por cierto: en estos días, a menudo se ve a personas que estudian CY no compactos por su cuenta y luego se preocupan más tarde sobre si realmente se pueden realizar como "parte" de un Calabi-Yau compacto en algún sentido apropiado. Mi impresión es que la pregunta no siempre es sencilla (por ejemplo, hubo mucha literatura reciente sobre estos temas en el contexto de la teoría F).

Creo que Andy y Cumrun no querían decir que esta variedad tendría un módulo de estructura complejo de forma aislada. Sin embargo, como queda claro a partir de la configuración "conifold", la variedad dada por$xy-zt=\mu$se está incorporando a una variedad más grande, por lo que esta ecuación solo describe la vecindad de alguna región.

Cuando explotas la forma asintótica fija de la$xy-zt=\mu$múltiple que es$\mu$-independiente y cuando extiende esta geometría conifold deformada a una variedad más grande, como la quíntica, el parámetro$\mu$conectado con la vecindad de la singularidad (deformada) se convierte en un módulo de estructura compleja que etiqueta estructuras complejas no equivalentes de toda la variedad (complicada) de Calabi-Yau.

Alternativamente, podría contar el módulo complejo único incluso para esta variedad simple, pero tendría que imponer la constancia de los asintóticos, es decir, prohibir sus transformaciones de "escala" que se usaron para mostrar la equivalencia independientemente de$\mu$.

La fórmula explícita para el difeomorfismo entre la cuádrica afín y el paquete cotangente$T^{*}S^3$es conocida. Se da, por ejemplo, en: Estados coherentes de Hall y Mitchell sobre esferas (Ecuación 18). Lo escribiré aquí usando la misma notación de la pregunta para completar:

$\mathbf{z}(\mathbf{x}, \mathbf{p}) = \cosh(\frac{p}{\sqrt{\mu}})\mathbf{x}+i \frac{\sqrt{\mu}}{p}\sinh(\frac{p}{\sqrt{\mu}})\mathbf{p}$

donde$(\mathbf{x},\mathbf{p})$son las coordenadas canónicas de$T^{*}\mathbb{R}^4$, en el cual$T^{*}S^3$es dado por:$x^2 = \mu, \mathbf{x}.\mathbf{p}=0$.

Las funciones$\mathbf{z}(\mathbf{x}, \mathbf{p})$(que definen la estructura compleja inducida en$T^{*}S^3$) dependen explícitamente de$\mu$.