Geodésica y Parametrización

Question

Geodésica y Parametrización

helena

Estaba revisando algunas de mis notas de pregrado sobre relatividad general y encontré una declaración donde menciono que si la ecuación geodésica se cumple para los parámetros $\alpha$ y $\beta$ :
$\frac{d^{2} X^{m}}{d α^{2}} + Γ_{v ρ}^{m} \frac{d X^{v}}{d α} \frac{d X^{ρ}}{d α} = 0$ $\frac{d^2x^{\mu}}{d\alpha^2}+\Gamma^{\mu}_{\nu\rho}\frac{dx^{\nu}}{d\alpha}\frac{dx^{\rho}}{d\alpha}=0$ y $\frac{d^{2} X^{m}}{d β^{2}} + Γ_{v ρ}^{m} \frac{d X^{v}}{d β} \frac{d X^{ρ}}{d β} = 0$ $\frac{d^2x^{\mu}}{d\beta^2}+\Gamma^{\mu}_{\nu\rho}\frac{dx^{\nu}}{d\beta}\frac{dx^{\rho}}{d\beta}=0$ Entonces $α = C_{1} β + C_{2}$ $\alpha=C_1\beta+C_2$ dónde $C_1$ y $C_2$ son constantes.

Bueno, siento que esto es correcto porque la ecuación geodésica es de segundo orden en el parámetro con respecto al cual diferenciamos. Pero también siento que extraño algo más profundo. ¿Cuál es la interpretación física de esto?

Valter Moretti

Eliminé mi respuesta porque no se refería al sentido físico sino solo a la razón matemática. Sin embargo un sentido geométrico es el siguiente. Las geodésicas son curvas que tienen, entre otras propiedades, la particularidad de que el vector tangente tiene una longitud constante a lo largo de la curva. Ocurre solo para una clase de parametrizaciones. Esta clase se realiza si se realiza una parametrización con esa propiedad y todas las posibles reparametrizaciones afines. Esta propiedad es válida para geodésicas temporales y espaciales.

helena

¡Hola! Gracias por tu comentario. No vi tu respuesta sobre el razonamiento matemático. ¿Fue algo más riguroso que lo que menciono en mi pregunta? Me refiero a que simplemente aplicar la regla de la cadena requiere que

\frac{d^{2} α}{d β^{2}} = 0

$\frac{d^2\alpha}{d\beta^2}=0$ .

Valter Moretti

OK, lo desborré.

Respuestas (3)

Geodésica y Parametrización

Eliminé mi respuesta porque no se refería al sentido físico sino solo a la razón matemática. Sin embargo un sentido geométrico es el siguiente. Las geodésicas son curvas que tienen, entre otras propiedades, la particularidad de que el vector tangente tiene una longitud constante a lo largo de la curva. Ocurre solo para una clase de parametrizaciones. Esta clase se realiza si se realiza una parametrización con esa propiedad y todas las posibles reparametrizaciones afines. Esta propiedad es válida para geodésicas temporales y espaciales.
¡Hola! Gracias por tu comentario. No vi tu respuesta sobre el razonamiento matemático. ¿Fue algo más riguroso que lo que menciono en mi pregunta? Me refiero a que simplemente aplicar la regla de la cadena requiere que $\frac{d^2\alpha}{d\beta^2}=0$ .

Valter Moretti · Answer 1

En realidad, hay un punto delicado que utiliza la validez del teorema de unicidad para ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Es cierto que las reparametrizaciones afines preservan la ecuación de las geodésicas. Sin embargo, el hecho contrario es más articulado.

Supongo que la métrica es $C^2$ para garantizar la validez del teorema de existencia y unicidad de las geodésicas para condiciones iniciales dadas.

La declaración precisa que está buscando debe ser la siguiente.

proposición _ Supongamos que la métrica es $C^2$ y eso $x^\mu = x^\mu(\alpha)$ , en coordenadas locales, es una geodésica definida para $\alpha \in [a,b]$ . Sólo hay dos posibilidades mutuamente excluyentes que se refieren a la clase de $C^2$ reparametrizaciones $\alpha= \alpha(\beta)$ dónde $d\alpha/d\beta \neq 0$ para $\beta \in [c,d]$ .

(a) $x^\mu= x^\mu(\alpha)$ es la constante geodésica y $x^\mu=x'^\mu(\beta) = x^\mu(\alpha(\beta))$ todavía resuelve la ecuación geodésica para cada reparametrización.

(b) $x^\mu= x^\mu(\alpha)$ no es la constante geodésica y $x^\mu=x'^\mu(\beta) = x^\mu(\alpha(\beta))$ resuelve la ecuación geodésica si y solo si $\beta = C_1\alpha + C_2$ dónde $C_1 \neq 0$ .

prueba _ En primer lugar observar que si $x=x(\alpha)$ es la geodésica constante, entonces cada reparametrización producirá la geodésica constante. Si $x=x(\alpha)$ es una geodésica, entonces una reparametrización afín preserva trivialmente la ecuación de las geodésicas.

Para concluir, tenemos que demostrar que solo se permiten reparametrizaciones afines a menos que la geodésica sea constante.

Supongamos que cambia el parámetro $\alpha= \alpha(\beta)$ (siendo la función $C^2$ y $\frac{d\alpha}{d\beta} \neq 0$ en todas partes para tener una verdadera reparametrización) y $x=x'(\beta):= x(\alpha(\beta))$ todavía satisface la ecuación geodésica (la última que escribiste). Desde

\frac{d^{2}}{d β^{2}} = {(\frac{d α}{d β})}^{2} \frac{d^{2}}{d α^{2}} + \frac{d^{2} α}{d β^{2}} \frac{d}{d α}

$\frac{d^2}{d\beta^2} = \left(\frac{d\alpha}{d\beta}\right)^2\frac{d^2}{d\alpha^2} + \frac{d^2 \alpha}{d\beta^2}\frac{d}{d\alpha}$ comparando las dos ecuaciones de geodésicas que aparecen en la pregunta inicial, se ve que

\frac{d^{2} α}{d β^{2}} \frac{d X^{m}}{d α} = 0

$\frac{d^2 \alpha}{d\beta^2}\frac{d x^\mu}{d\alpha}=0$ en todas partes a lo largo de la curva. Hay dos posibilidades: (a)

\frac{d x^{μ}}{d α} = 0

$\frac{d x^\mu}{d\alpha}=0$ en algún lugar o (b)

\frac{d x^{μ}}{d α} \neq 0

$\frac{d x^\mu}{d\alpha} \neq 0$ en todos lados. En el segundo caso

\frac{d^{2} α}{d β^{2}} = 0

$\frac{d^2 \alpha}{d\beta^2}=0$ en todas partes para que

α = C_{1} β + C_{2}

$\alpha = C_1 \beta + C_2$ (dónde

C_{1} \neq 0

$C_1\neq 0$ en vista del requisito inicial

\frac{d α}{d β} \neq 0

$\frac{d\alpha}{d\beta} \neq 0$ ). Supongamos que, por el contrario,

\frac{d x^{μ}}{d α} |_{α = α_{0}} = 0

$\frac{d x^\mu}{d\alpha}|_{\alpha= \alpha_0}=0$ . En este caso la función

x^{μ} (α) = x^{μ} (α_{0})

$x^\mu(\alpha)= x^\mu(\alpha_0)$ satisface el problema de Cauchy que consiste en su primera ecuación geodésica y condiciones iniciales

x^{μ} (α_{0})

$x^\mu(\alpha_0)$ y

\frac{d x^{μ}}{d α} |_{α = α_{0}} = 0

$\frac{d x^\mu}{d\alpha}|_{\alpha= \alpha_0}=0$ y esta es la solución única ya que se satisface la hipótesis del teorema de unicidad. Entonces

x^{μ} (α) = x^{μ} (α_{0})

$x^\mu(\alpha) = x^\mu(\alpha_0)$ constantemente.

QED

Ahora puedo presentar un significado geométrico de la clase de reparametrizaciones afines de una geodésica.

NB _ De ahora en adelante asumo que trataré con geodésicas no constantes similares al espacio o al tiempo.

La ecuación de las geodésicas se puede escribir

\nabla_{\dot{γ}} \dot{γ} = 0

$\nabla_{\dot{\gamma}}\dot{\gamma} =0$ Esta formulación es intrínseca,

\nabla

$\nabla$ es la derivada covariante que surge de la métrica

g

$g$ y

\dot{γ}

$\dot{\gamma}$ es el vector tangente a la geodésica

γ = γ (t)

$\gamma = \gamma(t)$ . Como consecuencia de dicha ecuación,

gramo (\dot{γ}, \nabla_{\dot{γ}} \dot{γ}) = 0

$g(\dot{\gamma},\nabla_{\dot{\gamma}}\dot{\gamma}) =0$ que se puede reescribir como

\begin{matrix} (0) & \frac{1}{2} \nabla_{\dot{γ}} gramo (\dot{γ}, \dot{γ}) = 0 \end{matrix}

$\frac{1}{2}\nabla_{\dot{\gamma}}g(\dot{\gamma},\dot{\gamma}) =0\tag{0}$ es decir

\begin{matrix} (1) & \frac{d}{d t} gramo (\dot{γ}, \dot{γ}) = 0 . \end{matrix}

$\frac{d}{dt}g(\dot{\gamma},\dot{\gamma}) =0\:. \tag{1}$ Es evidente que la longitud del vector tangente

g (\dot{γ}, \dot{γ})

$g(\dot{\gamma},\dot{\gamma})$ es constante a lo largo de la geodésica. Esta propiedad no puede ser invariante bajo reparametrización arbitraria, ya que el vector tangente depende de la elección del parámetro.

Sin embargo, es posible caracterizar la clase de reparametrizaciones conservando esta propiedad encontrando que es exactamente la clase de reparametrizaciones ya encontrada la que deja fija la forma de la ecuación geodésica.

Si $t=t(u)$ es un $C^2$ reparametrización con $dt/du \neq 0$ en todas partes, definiendo $\sigma(u) := \gamma(t(u))$ , (1) se puede reorganizar en el requisito equivalente

\frac{d}{d tu} ({(\frac{d t}{d tu})}^{2} gramo (\dot{σ} (tu), \dot{σ} (tu))) = 0 .

$\frac{d}{du}\left(\left(\frac{dt}{du}\right)^2 g(\dot{\sigma}(u), \dot{\sigma}(u)) \right) =0\:.$ Expandiendo el lado izquierdo, usando

\frac{d t}{d u} \neq 0

$\frac{dt}{du} \neq 0$ Juntos con

g (\dot{γ}, \dot{γ}) \neq 0

$g(\dot{\gamma},\dot{\gamma}) \neq 0$ (ya que la geodésica es una geodésica espacial o temporal no constante) y suponiendo que también la longitud de

\dot{σ}

$\dot{\sigma}$ es constante

\begin{matrix} (1) & \frac{d}{d tu} gramo (\dot{σ}, \dot{σ}) = 0 . \end{matrix}

$\frac{d}{du}g(\dot{\sigma},\dot{\sigma}) =0\:. \tag{1}$ encontramos

\frac{d}{d tu} {(\frac{d t}{d tu})}^{2} = 0 .

$\frac{d}{du} \left(\frac{dt}{du}\right)^2 =0\:.$ Desde

\frac{d t}{d u} \neq 0

$\frac{dt}{du} \neq 0$ , esto es equivalente a

\frac{d}{d tu} \frac{d t}{d tu} = 0,

$\frac{d}{du}\frac{dt}{du} =0\:,$ a saber

u = C_{1} t + C_{2}

$u= C_1t + C_2$ con

C_{1} \neq 0

$C_1 \neq 0$ . Concluimos que si la reparametrización produce una curva con vector tangente de longitud constante entonces la reparametrización conserva la estructura de las ecuaciones de las geodésicas y viceversa .

En relatividad y en geometría diferencial, uno de los parámetros de una geodésica (no constante, no similar a la luz) tiene un significado físico/geométrico relevante: el tiempo propio o el parámetro de longitud de arco de las geodésicas. De acuerdo con la respuesta de Ben Crowell, sin embargo, somos libres de cambiar nuestras unidades y también somos libres de fijar arbitrariamente el origen del parámetro y esperamos, es decir, realizar una transformación arbitraria (afín no singular del parámetro). Como estas elecciones son completamente convencionales, las propiedades físicas/geométricas de la curva deben permanecer sin cambios. Ese es el caso de la propia ecuación (0) y el hecho de que el vector tangente es constante a lo largo de la curva.

Existe otra clase de curvas cuyo vector tangente tiene longitud constante y esta propiedad se conserva si se reparametrizan las curvas mediante transformaciones afines y estas transformaciones tienen un significado físicamente relevante. Me refiero a las curvas tangentes a los campos vectoriales Killing $K$ . Estas curvas se definen como

\dot{γ} = k (γ (t)) .

$\dot{\gamma}= K(\gamma(t))\:.$ Dado que la métrica es invariante a lo largo de las órbitas de

K

$K$ , trivialmente tenemos

\frac{d}{d t} gramo (\dot{γ}, \dot{γ}) = \frac{d}{d t} gramo (k (γ (t)), k (γ (t))) = 0 .

$\frac{d}{dt}g(\dot{\gamma}, \dot{\gamma})= \frac{d}{dt}g(K(\gamma(t)), K(\gamma(t)))=0\:.$ Por otro lado

K

$K$ es un campo de exterminio si y solo si

K^{'} := c K

$K' := cK$ es un campo de exterminio para

c \neq 0

$c \neq 0$ . Las curvas integrales de

K^{'}

$K'$ son los de

K

$K$ con parámetro reescalado

u = t / c

$u= t/c$ . El origen del parámetro puede fijarse arbitrariamente y, por lo tanto, descubrimos una vez más la clase afín de transformaciones.

usuario4552 · Answer 2

usuario4552

Un ejemplo típico de un parámetro afín sería el tiempo propio a lo largo de una geodésica temporal. El hecho de que la curva sea una geodésica no depende de las unidades que use su reloj o de cuándo inicie el reloj.

Valter Moretti

¿Y por qué asumir que las buenas nociones de tiempo sólo pueden modificarse con transformaciones afines? Creo que el razonamiento puede invertirse: admitimos solo redefiniciones afines de nuestra noción de tiempo debido a esa propiedad de la ecuación geodésica (o una propiedad similar de los parámetros de las curvas integrales de los campos vectoriales Killing en el espacio-tiempo curvo). Sin embargo, sí, su comentario es correcto sin importar si es la causa o la consecuencia, para las geodésicas temporales.

dualidad · Answer 3

¡Buena pregunta! Obviamente, si $a=C_1\beta+C_2$ entonces

d a = C_{1} d β,

$\text{d}a=C_1\text{d}\beta,$ y la ecuación geodésica permanece sin cambios en esta transformación si se multiplica por

C_{1}^{2}

$C_1^2$ . Para responder a su pregunta, el significado más profundo es que la acción

S = \int ds

$S = \int \text{ds}$ es siempre el mismo para transformaciones lineales del parámetro. Una acción también puede ser pensada como

una longitud de arco, o
la energía total durante algún tiempo desde $S = \int^{t} L (\dot{X}, X) d t .$ $S=\int^tL(\dot{x},x)\text{d}t.$

La combinación de estas dos ideas revela que la energía mínima de un sistema a lo largo del tiempo seguirá siendo la misma para transformaciones lineales arbitrarias del parámetro de medición de longitud. Esta declaración codifica mucho en realidad; una interesante es la energía total que se conserva localmente.

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helena

Valter Moretti

helena

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Valter Moretti

usuario4552

Valter Moretti

dualidad

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