En las geodésicas de la métrica ds2=−ρ2dα2+dρ2ds2=−ρ2dα2+dρ2ds^2=-\rho^2d\alpha^2+d\rho^2 y la constante l=ρ2dαdτl=ρ2dαdτl=\rho^2\frac {d\alfa}{d\tau}

Question

En las geodésicas de la métrica ds2=−ρ2dα2+dρ2ds2=−ρ2dα2+dρ2ds^2=-\rho^2d\alpha^2+d\rho^2 y la constante l=ρ2dαdτl=ρ2dαdτl=\rho^2\frac {d\alfa}{d\tau}

Soof_fie

En mi tarea tengo que lidiar con la métrica del espacio-tiempo 2D

d s^{2} = - ρ^{2} d α^{2} + d ρ^{2} .

$ds^2=-\rho^2d\alpha^2+d\rho^2.$ Durante esta tarea hemos demostrado que la constante

yo = ρ^{2} \frac{d α}{d τ}

$l=\rho^2\frac{d\alpha}{d\tau}$ es una constante a lo largo de las geodésicas en ese espacio. Después de esto encontramos una expresión para

ρ

$\rho$ en términos de

α

$\alpha$ , para cual

ρ (α = 0) = l

$\rho(\alpha=0)=l$ , a saber:

ρ (α) = yo \frac{2 {mi}^{α}}{{mi}^{2 α} + 1} .

$\rho(\alpha)=l\frac{2e^\alpha}{e^{2\alpha}+1}.$ Trazamos esta función para varios valores de l, lo que dio: $Expresión para $\rho(\alpha)$ trazada para varios valores de l.$

Finalmente, mostramos que en la vecindad cercana del radio de Schwarschild, es decir $0<r-r_s\ll 1$ , la métrica $ds^2=-\rho^2 d\alpha^2+d\rho^2$ corresponde a la métrica $ds^2=-(1-\frac{r_s}{r})dt^2+(1-\frac{r_2}{r})^{-1}dr^2$ .

Ahora lo que tenemos que hacer es usar el resultado de que la métrica es aproximadamente la métrica de schwarzschild en el radio de schwarzschild para interpretar las gráficas que encontramos en la figura que se muestra arriba y dar una posible interpretación para l. Y realmente no tengo idea de cómo interpretar estas cifras o lo que podría ser.

¡Cualquier idea es bienvenida!

Respuestas (2)

En las geodésicas de la métrica ds2=−ρ2dα2+dρ2ds2=−ρ2dα2+dρ2ds^2=-\rho^2d\alpha^2+d\rho^2 y la constante l=ρ2dαdτl=ρ2dαdτl=\rho^2\frac {d\alfa}{d\tau}

jamals · Answer 1

La métrica escrita en la pregunta,

d s^{2} = - ρ^{2} d α^{2} + d ρ^{2}

$ds^2 = -\rho^2 d\alpha^2 + d\rho^2$

es simplemente la métrica para el espacio plano de Minkowski $\mathbb R^{1,1}$ . Si hacemos la transformación de coordenadas,

α = a r C t a norte h \frac{t}{X}, ρ = \sqrt{X^{2} - t^{2}}

$\alpha = \mathrm{arctanh} \frac{t}{x}, \quad \rho = \sqrt{x^2-t^2}$

entonces obtenemos la métrica familiar,

d s^{2} = - d t^{2} + d X^{2}

$ds^2 = -dt^2 + dx^2$

en $(-1, 1)$ firma. Todos los símbolos de Christoffel desaparecen, dejando que todos los componentes de la geodésica sean funciones lineales de $\tau$ , el momento adecuado. Volviendo a tu constante a lo largo de las geodésicas,

yo = ρ^{2} \frac{d α}{d τ}

$l = \rho^2 \frac{d\alpha}{d\tau}$

aviso $\rho^2 = x^2 - t^2$ y aplicando la regla de la cadena a nuestra expresión para $\alpha(x(\tau),t(\tau))$ rendimientos,

yo = X (τ) \frac{d t}{d τ} - t (τ) \frac{d X}{d τ} .

$l = x(\tau) \frac{dt}{d\tau} - t(\tau)\frac{dx}{d\tau}.$

Tomando $t(\tau) = a\tau + b$ y $x(\tau) = c\tau + d$ , tenemos,

yo = a d - b C

$l = ad-bc$

que es enteramente $\tau$ independiente y por lo tanto es constante a lo largo de cualquier geodésica del espacio de Minkowski. Tenga en cuenta una interpretación matemática de $l$ : es el wronskiano de $x(\tau)$ y $t(\tau)$ , que determina si son linealmente independientes o no.

mike piedra · Answer 2

Esta no es una respuesta directa a su pregunta, sino más bien una pista para seguir trabajando. Su métrica es la del "espacio Rindler", que es un espacio-tiempo plano disfrazado. Las coordenadas son las naturales para un observador uniformemente acelerado. Consulte: https://en.wikipedia.org/wiki/Rindler_coordinates .

En las geodésicas de la métrica ds2=−ρ2dα2+dρ2ds2=−ρ2dα2+dρ2ds^2=-\rho^2d\alpha^2+d\rho^2 y la constante l=ρ2dαdτl=ρ2dαdτl=\rho^2\frac {d\alfa}{d\tau}

Soof_fie

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jamals

mike piedra

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