En el artículo de Witten sobre QFT y el polinomio de Jones, cuantifica el Chern-Simons Lagrangian en para dos casos: (1) no tiene puntos marcados (es decir, no tiene bucles de Wilson) y (2) tiene puntos marcados y cada punto tiene adjunta una representación del grupo de calibre. En el caso (1), Witten muestra que el espacio vectorial debería ser el espacio de secciones holomorfas de un haz de líneas determinante sobre el espacio de módulos de conexiones planas. Para el segundo caso establece que el espacio vectorial debe ser el -subespacio invariante del producto tensorial de todas las representaciones asociadas a los puntos marcados; con esto quiero decir, si posee puntos marcados y cada punto tiene una repetición entonces el espacio cuántico de Hilbert es .
¿Alguien sabe cómo interpretar este segundo caso en términos de secciones de algún paquete? Quiero decir, ¿no debería reducirse el segundo caso al primero cuando elimina los puntos marcados? Además, Witten afirma, inmediatamente después del caso (2), que en presencia de puntos no marcados, el espacio cuántico de Hilbert es unidimensional. ¿Cómo se puede ver que a partir de la fórmula del espacio cuántico de Hilbert, ?
Hay dos formas de pensar en el espacio de Hilbert como el espacio de las secciones de un haz de líneas.
Primero, la acción exponenciada de Chern-Simons en una variedad es una sección del paquete de línea determinante en el espacio de conexiones planas en . Además, los bucles de Wilson (que se pueden considerar como un TFT 1d) contribuyen cada. Entonces, el espacio de Hilbert (antes de recordar la invariancia de calibre) es . Ahora si , que es conexo simple, el espacio de conexiones planas es un punto, por lo que . Finalmente, la invariancia de calibre selecciona el -invariantes en .
Tenga en cuenta que el espacio de Hilbert para un no simplemente conexo no es trivial incluso sin los pinchazos.
Otra forma de pensar en este espacio de Hilbert es recordar la correspondencia 2d CFT <-> 3d TFT. La idea aquí es la siguiente. Las funciones de correlación de un CFT 2d viven en un paquete determinado sobre el espacio de módulos de curvas complejas llamado paquete de bloques conformes. Las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov sobre funciones de correlación corresponden a una conexión plana (proyectivamente) en este paquete. Entonces, un 2d CFT asocia secciones globales de este paquete a una superficie topológica , este es el espacio de Hilbert en un TFT 3d. En el caso de la teoría de Chern-Simons, la CFT 2d asociada es el modelo de Wess-Zumino-Witten.
Se puede encontrar una descripción práctica en
S. Elitzur, G. Moore, A. Schwimmer, N. Seiberg, Observaciones sobre la cuantificación canónica de la teoría de Chern-Simons-Witten, Nucl Phys B326 (1989), 108.
Matemáticamente, esta correspondencia es una equivalencia entre funtores modulares (como los define Segal en La definición de la teoría del campo conforme) y categorías de tensores modulares que dan lugar a TFT 3d (debido a Reshetikhin y Turaev).
Todo eso se discute en un excelente libro Lectures on tensorial category and modular functors de Bakalov y Kirillov.
Urs Schreiber