Cuádruple de pitagóricos triples con misma área

Question

Cuádruple de pitagóricos triples con misma área

Matemáticas
teoría de los números
triples pitagóricos

identificación

¿Se puede encontrar explícitamente $a_i,b_i,c_i\in\Bbb N,i=1,2,3,4$ de modo que
$a_{i} < b_{i}, y a_{i}^{2} + b_{i}^{2} = C_{i}^{2} para i = 1, 2, 3, 4$ $a_i<b_i, \qquad \text{ and } \qquad a_i^2+b_i^2=c^2_i \qquad\text{for } i=1,2,3,4$ y $a_{1} b_{1} = a_{2} b_{2} = a_{3} b_{3} = a_{4} b_{4}, C_{1} < C_{2} < C_{3} < C_{4} .$ $a_1b_1=a_2b_2=a_3b_3=a_4b_4, \qquad c_1<c_2<c_3<c_4.$

Algo de contexto:

Un triple pitagórico es un triple $(a,b,c)\in\Bbb N$ de modo que $a^2+b^2=c^2$ . Nosotros decimos eso $(a,b,c)$ es primitivo si $a,b$ y $c$ son coprimos . En el artículo dedicado de wikipedia está escrito lo siguiente:

$\big((20, 21, 29), (12, 35, 37)\big)$ es el primer par de ternas pitagóricas primitivas tales que los triángulos inducidos tienen la misma área $=210$ .
$\big( (4485, 5852, 7373), (3059, 8580, 9109), (1380, 19019, 19069)\big)$ es una terna de ternas pitagóricas primitivas tales que los triángulos inducidos tienen la misma área $=13123110$ .
Para cada número natural $n$ , allí existe $n$ Tripas pitagóricas con diferentes hipotenusas y la misma área.

Una formulación equivalente de la pregunta anterior es: ¿ Existe algún cuádruple de ternas pitagóricas explícitamente conocido tal que los triángulos inducidos tengan la misma área?

Nota: A093536 afirma que para tal cuádruple, el área en cuestión será $\geq 10^{17}$ .

Nota: Estos problemas son equivalentes por las siguientes razones: Se sigue del hecho básico de que el área de un triángulo asociado a una terna pitagórica $(a,b,c)$ es dado por $ab/2$ y $2n^2=k^2$ Sólo tiene $(0,0)$ como solución entera. Por cierto, tenga en cuenta que $a_i,b_i,c_i$ son coprimos si y solo si $\gcd(a_i,\gcd(b_i,c_i))=1$ para $i=1,\ldots,4$ .

individuo

Escribe un sistema de ecuaciones diofánticas no lineales y resuelve. Para 4 sería difícil de resolver. Necesidad de empezar poco a poco.

identificación

@individ Ni siquiera tengo idea de cómo resolver un sistema de este tipo para 2 (nunca trabajé en ecuaciones diofánticas, así que no lineales ...). ¿Tienes algunas referencias tal vez?

gerry myerson

Tenga en cuenta que A093536 hace esa afirmación solo para triples primitivos .

Respuestas (3)

Cuádruple de pitagóricos triples con misma área

Escribe un sistema de ecuaciones diofánticas no lineales y resuelve. Para 4 sería difícil de resolver. Necesidad de empezar poco a poco.
@individ Ni siquiera tengo idea de cómo resolver un sistema de este tipo para 2 (nunca trabajé en ecuaciones diofánticas, así que no lineales ...). ¿Tienes algunas referencias tal vez?
Tenga en cuenta que A093536 hace esa afirmación solo para triples primitivos .

gerry myerson · Answer 1

Aquí dice : "También se pueden encontrar cuartetos de triángulos rectángulos con la misma área. El cuarteto que tiene el área más pequeña conocida es

(111, 6160, 6161), (231, 2960, 2969), (518, 1320, 1418), (280, 2442, 2458)

$(111, 6160, 6161), (231, 2960, 2969), (518, 1320, 1418), (280, 2442, 2458)$ con area

341880

$341880$ (Beiler 1966, p. 127). Guy (1994) brinda información adicional".

Las referencias son Beiler, AH, "The Eternal Triangle", cap. 14 en Recreaciones en la Teoría de Números: La Reina de las Matemáticas Entretiene. Nueva York: Dover, 1966, y Guy, RK, "Triángulos con lados, medianas y área enteros". §D21 en Problemas sin resolver en teoría de números, 2.ª ed. New York: Springer-Verlag, pp. 188-190, 1994. Pero hay una tercera edición del libro de Guy.

Observo que estos triángulos no son todos primitivos, pero no pediste eso.

Sture Sjöstedt · Answer 2

Mire A055193 en oeis.org . Agregué un poco en EJEMPLO sobre el área que da cinco triángulos con la misma área Sture Sjöstedt sture.sjostedt(at)spray.se

poetasis · Answer 3

Según el comentario de Sture Sjöstedt, hay $5$ triples con la misma área de $71831760$ . Puede encontrar todos los triples que existen para la misma área ingresando valores de $D$ (área) y un rango de valores de 'm' usando la siguiente fórmula que desarrollé (con ayuda) aquí :

{norte}_{0} = 2 \sqrt{\frac{{metro}^{2}}{3}} porque ((\frac{1}{3}) \arccos (- \frac{3 \sqrt{3} D}{2 {metro}^{4}}))

$n_0=2\sqrt{\frac{m^2}{3}}\cos\biggl({\biggl(\frac{1}{3}\biggr)\arccos{\biggl(-\frac{3\sqrt{3}D}{2m^4}\biggr)}\biggr)}$

{norte}_{1} = 2 \sqrt{\frac{{metro}^{2}}{3}} porque ((\frac{1}{3}) \arccos (\frac{3 \sqrt{3} D}{2 {metro}^{4}}))

$n_1=2\sqrt{\frac{m^2}{3}}\cos\biggl({\biggl(\frac{1}{3}\biggr)\arccos{\biggl(\frac{3\sqrt{3}D}{2m^4}\biggr)}\biggr)}$

{norte}_{2} = {norte}_{1} - {norte}_{0}

$n_2=n_1-n_0$

dónde

⌊ \sqrt[4]{D} ⌋ \leq metro \leq ⌈ \sqrt[3]{D} ⌉

$\lfloor\sqrt[4]{D}\rfloor\le m\le \lceil\sqrt[3]{D}\space \rceil$

para el caso de $71831760$ , dónde

⌊ \sqrt[4]{71831760} ⌋ = 92 \leq metro \leq ⌈ \sqrt[3]{71831760} ⌉ = 416

$\lfloor\sqrt[4]{71831760}\rfloor=92\le m\le \lceil\sqrt[3]{71831760}\space \rceil=416$

$n_0=f(71831760,169)=161\qquad F(169,161)=(2640,54418,54482)$ $n_2=f(71831760,169)=15\qquad F(169,15)=(28336,5070,28786)$ $n_1=f(71831760,176)=169\qquad F(176,169)=(2415,59488,59537)$

Los otros dos triples no primitivos con la misma área se pueden encontrar probando los factores de $71831760$ . Esto es tedioso y parecería que no hay más que $3$ soluciones a esta ecuación cúbica pero, para el ejemplo proporcionado por Gerry Myerson, tenemos $D= 341880$ .

para el caso de $341880$ , dónde

⌊ \sqrt[4]{341880} ⌋ = 24 \leq metro \leq ⌈ \sqrt[3]{341880} ⌉ = 70

$\lfloor\sqrt[4]{341880}\rfloor=24\le m\le \lceil\sqrt[3]{341880}\space \rceil=70$ nos encontramos

$n_0=f(341880,37)=33\qquad F(37,33)=(280,2442,2458)$ $n_2=f(341880,37)=7\qquad F(37,7)=(1320,518,1418)$ $n_1=f(341880,40)=37\qquad F(40,37)=(231,2960,2969)$ $n_1=f(341880,56)=55\qquad F(56,155)=(111,6160,6161)$

Cuádruple de pitagóricos triples con misma área

identificación

individuo

identificación

gerry myerson

Respuestas (3)

gerry myerson

Sture Sjöstedt

poetasis

Generador triple pitagórico primitivo

Diferencia entre hipotenusa y cateto mayor en una terna pitagórica

¿Existe un número cuadrado perfecto n, cuyo valor de Euler Totient también sea un cuadrado perfecto?

Coincidencia en la parametrización de solución diofántica para ternas pitagóricas, etc.

Existencia de triples pitagóricos primitivos

Encuentre exactamente 333 triples pitagóricos primitivos coincidentes para una hipotenusa dada

¿Qué porcentaje de los triples pitagóricos primitivos tienen un número par como su cateto más pequeño?

¿Generando triples pitagóricos usando un nuevo método?

¿Una nueva fórmula para generar triples pitagóricos?

Una pregunta sobre las ternas pitagóricas