Existencia de triples pitagóricos primitivos

el numero impar$45$es una suma de dos cuadrados, pero no de dos cuadrados primos relativos.

De manera más general, deje que el número impar$n$ser de la forma$p_1^{2a_1}\cdots p_k^{2a_k}m$, donde el$p_i$son primos congruentes con$3$módulo$4$, y$m$es un producto de primos congruentes con$1$módulo$4$. Entonces$n$es una suma de dos cuadrados, pero no es la suma de dos cuadrados primos relativos.

$$\text{For any C, if } n=\frac{-1\pm \sqrt{2C-1}}{2}\text { yields an integer for }n, \text{then you have a primitive triple.}$$

$$A=2n^2+1\quad B=2n^2+2n\quad C=2n^2+2n+1 \text{ where }C-B=1$$

$$\text{If }n=\sqrt{\frac{C-1}{4}}\text{ yields an integer for n, you have a primitive triple.}$$

$$A=4n\quad B=4n^2-1\quad C=4n^2+1\quad \text{where }C-B=2$$

De lo contrario

$$C=m^2+n^2\Rightarrow n=\sqrt{C-m^2}\text{ where } \biggl\lceil\sqrt{\frac{C}{2}}\space\space\biggr\rceil \le m\le\bigl\lfloor\sqrt{C}\bigr\rfloor$$ Para cualquier no entero$n$, ese valor de$C$no es parte de ningún primitivo. Para cualquier valor entero de$n$entonces$C$es parte de un primitivo o un múltiplo donde el múltiplo es$2$o un cuadrado perfecto. La única forma de estar seguro es generarlos con la fórmula de Euclid y probar el GCD.

Por ejemplo; dejar$C=25$entonces$m_{min}=\lceil\sqrt{12.5}\space\rceil=4$y$m_{max}=\lfloor\sqrt{25}\rfloor=5.$Podemos ver eso$\sqrt{25-16}=3$y$f(4,3)=(7,24,25)$. También podemos ver por inspección, sin embargo, que$m=5$conduce a una solución trivial. Esto solo sucede cuando$C$en sí mismo es un cuadrado perfecto.