Probabilidad de diferentes estados - Conjunto canónico - Función de partición

Digamos que uno busca la función de partición de N-cuerpos de un sistema clásico .

$$Z_N \propto \int d\Omega_N e^{-\beta H}$$ La integral es sobre el espacio de fase de N-cuerpos y $H$es el hamiltoniano completo. Si el sistema no interactúa, $H$es la suma de $N$hamiltonianos de una partícula $$H = H_1+H_2+\cdots+H_N$$ cada uno de los cuales solo depende de las coordenadas y el momento de una sola partícula.

La integral fase-espacio luego se factoriza en integrales de un cuerpo

$$Z_N \propto \left(\int d\Omega_1 e^{-\beta H_1}\right)\left(\int d\Omega_2 e^{-\beta H_2}\right)\cdots\left(\int d\Omega_N e^{-\beta H_N}\right) = \prod_i Z(i)$$ que es solo el producto de las funciones de partición de una sola partícula. Si los hamiltonianos son todos iguales, por ejemplo $H_i=p_i^2/2m$, todas las funciones de partición sp coinciden y de hecho tienes $$Z_N \propto Z_1^N$$ Ahora, escribo proporcional, porque como habrás notado, hay un factor de $1/N!$desaparecido. Esto ocurre cuando se trata de partículas indistinguibles. Si uno no incluye este factor, la entropía se vuelve, por ejemplo, no aditiva y esencialmente se enfrenta a la paradoja de Gibb .

¡Tenga en cuenta que la noción de indistinguibilidad es fundamentalmente cuántica ! Clásicamente no se esperaría tal cosa, sin embargo esta propiedad cuántica prevalece en el límite clásico.

En cuanto a la primera parte de su pregunta: habla de la probabilidad de que 'la partícula' haya girado. No estoy seguro de que sea una pregunta sensata en el contexto de muchos cuerpos. ¿Quiere decir la probabilidad de encontrar exactamente una partícula en el estado superior? Si es así, piensa en la energía de tal estado y usa la definición de$P_i$diste.

Escribiendo :$Z = \sum\limits_{\{N_{\lambda_i}\}}e^{-\beta \sum\limits_{\lambda_i} N_{\lambda_i}\epsilon_{\lambda_i}}$, tenemos :

$\langle N_{\lambda_j}\rangle = \dfrac{1}{Z}\sum\limits_{\{N_{\lambda_i}\}}N_{\lambda_j}e^{-\beta \sum\limits_{\lambda_i} N_{\lambda_i}\epsilon_{\lambda_i}} = \dfrac{1}{Z} \dfrac{-1}{\beta} \dfrac{\partial}{\partial \epsilon_{\lambda_j}} Z = \dfrac{-1}{\beta} \dfrac{\partial \ln Z}{\partial \epsilon_{\lambda_j}}$

En el caso de que$Z = z^N$o$Z = \dfrac {z^N}{N!}$, obtenemos :$\ln Z = N \ln z + A$, dónde$A$es una constante que no depende de la$\epsilon_{\lambda_j}$. Entonces podríamos escribir:

$\langle N_{\lambda_j}\rangle = \dfrac{-N}{\beta} \dfrac{\partial \ln z}{\partial \epsilon_{\lambda_j}}$

En tu caso, tenemos$z = e^{-\beta \epsilon_+} + e^{-\beta \epsilon_-}$, por lo que es muy fácil de conseguir$N_+$y$N_-$de la relación anterior:

$\langle N_\pm \rangle = N \dfrac{e^{-\beta \epsilon_\pm}}{e^{-\beta \epsilon_+} + e^{-\beta \epsilon_-}}$

"Gas ideal" significa partículas independientes . Cuando las partículas son independientes, puedes estudiar una partícula y sabes lo que hacen todas las demás en promedio.

Matemáticamente, el$N$-función de partición de partículas$Q_N$y la función de partición de una partícula$Q_1$están relacionados en este caso como

$$Q_N = \frac{Q_1^N}{N!}$$

La factorización de$Q_N$en un producto de$Q_1$'s significa que puede estudiar el sistema mirando$Q_N$o en$Q_1$. Cuando las partículas interactúan (gas no ideal) no es posible escribir una relación simple entre$Q_N$y$Q_1$.