Función de partición para sistema de dos niveles

tengo un sistema con$N_s$sitios y$N$partículas, tal que$N_s >> N >> 1$. Si un sitio no tiene partículas, entonces no hay energía asociada con ese sitio. El$N$Las partículas ocupan el$N_s$sitios y pueden estar en energías$E_1$o$E_0$, dónde$E_1 > E_0$. también sabemos$m$las partículas tienen energía$E_1$y$N-m$tener partículas$E_0$.

Estoy tratando de encontrar la función de partición para este sistema.

Encontré que la energía total hasta ahora es$E = m E_1 + (N-m)E_0$. Sé que la función de partición es$Z = \sum_{\mu_s} e^{-\beta E(\mu_s)}$, dónde$\mu_s$sumas sobre todos los microestados posibles.

Estoy tratando de usar la fórmula:

$$(1 + x)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^k$$

¿Puede alguien mostrarme cómo se hace esto?

También he descubierto que hay$\frac{N!}{m! (N-m)!}$formas de conseguir$m$,$E_1$estados y$N-m$,$E_0$estados y$\frac{N_s!}{N! (N_s-N)!}$formas de organizar el$N$partículas en el$N_s$sitios

Ediciones (trabajo adicional):

Siguiendo el consejo del nephente, esto es lo que me sale hasta ahora:

$$Z = \sum_{\mu_s}{e^{-\beta E_s}} = {N_s \choose N} \sum_{m = 0}^N {N\choose m} (e^{-\beta m E_1} + e^{-\beta (N - m) E_0}) = {N_s \choose N} (e^{-\beta m E_1} + e^{-\beta (N - m) E_0})^N$$

Pensé que habría una suma de dos exponenciales porque la partícula podría tener energía.$E_1$o$E_0$. ¿Estás diciendo que deberíamos tener:

$$Z = \sum_{\mu_s}{e^{-\beta E_s}} = {N_s \choose N} \sum_{m = 0}^N {N\choose m} e^{-\beta m E_1} = {N_s \choose N} (1 + e^{-\beta m E_1})^N$$

¿Qué pasa con la energía$E_0$? Me cuesta entender cuál es el correcto y estoy un poco confundido por qué se acabó la suma$m$es necesario Pensé$m$fue arreglado.

Aquí, estoy pensando en${N_s \choose N}$como la degeneración para cada microestado debido a la disposición de los$N$partículas en$N_s$sitios

Edición 2:

nephente, ¿estás diciendo entonces que esta es la función de partición correcta?

$$Z = \sum_{\mu_s}{e^{-\beta E_s}} = {N_s \choose N} \sum_{m = 0}^N {N\choose m} e^{-\beta N E_0} e^{-\beta m (E_1-E_0)} = {N_s \choose N} e^{-\beta N E_0} (1 + e^{-\beta m (E_1-E_0)})^N$$

$$Z = {N_s \choose N} (e^{-\beta E_0} + e^{\beta (m-1)E_0}e^{-\beta m E_1})^N$$

Además, ¿le importaría explicar por qué necesitamos sumar en$m$¿algo mas?