¿Cuál es la importancia de la esfera de Fermi?

Considere un sistema de electrones confinados en un cubo de lado$L=V^{1/3}$. Supongamos que este "gas de electrones" está lo suficientemente diluido como para que podamos despreciar las interacciones electrón-electrón. Esto significa que tenemos que resolver la ecuación de Schroedinger para una partícula libre:

$$-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf r) = E\ \psi(\mathbf r)\tag{1}\label{1}$$

Además, dado que estamos interesados ​​en las propiedades generales del material, supondremos condiciones de contorno periódicas (PBC):

$$\psi(x+L,y,z) = \psi(x,y,z)\\ \psi(x,y+L,z) = \psi(x,y,z)\\ \psi(x,y,z+L) = \psi(x,y,z) \tag{2}\label{2}$$

Es bien sabido que la solución de la Ec.$\ref{1}$es una onda plana:

$$\psi_{\mathbf k}(\mathbf r) = \frac 1 {\sqrt{V}} e^{i \mathbf k \cdot \mathbf r} \tag{3}\label{3}$$

con energia

$$E(\mathbf k) = \frac{\hbar^2k^2}{2m} \tag{4}\label{4}$$

Si aplicas las condiciones$\ref{2}$a la solución$\ref{3}$, conseguirás

$$e^{i k_x} L=e^{i k_y} L=e^{i k_z} L=1 \tag{5}\label{5}$$

y por lo tanto

$$k_\alpha = \frac{2 \pi n_\alpha} L \ \ \ (\alpha =x,y,z) \tag{6}\label{6}$$

dónde$n_\alpha$son números enteros. Por lo tanto, los vectores de onda permitidos forman una "cuadrícula" discreta en el espacio recíproco (figura a continuación, de DJ Griffiths, Introducción a la mecánica cuántica ). Observe cómo el espacio recíproco sale naturalmente debido a la relación$\ref{4}$entre la energía de un electrón y su vector de onda.

En$T=0$, los electrones ocuparán los niveles de energía más bajos disponibles, comenzando con$\mathbf k = \mathbf 0$. Como los electrones son fermiones con espín$1/2$, para satisfacer el principio de exclusión de Pauli, solo podemos acomodar dos de ellos en cada nivel de energía. Por lo tanto, a partir de$\mathbf k=\mathbf 0$, podemos imaginar colocar 2 electrones en cada punto en el espacio recíproco permitido por la ecuación.$\ref{6}$. Si el número de electrones es muy grande, es fácil ver que el resultado de este llenado se parece mucho a una esfera: esto es lo que llamamos la esfera de Fermi .

El radio de esta esfera,$k_F$, está relacionado con la energía por la ecuación$\ref{4}$. La energía de los electrones en la superficie de la esfera de Fermi es la energía de Fermi:

$$E_F= \frac{\hbar^2k_F^2}{2m} \tag{7}\label{7}$$

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Referencias

Para una discusión detallada de las superficies de Fermi en general, véase, por ejemplo, Ashcroft-Mermin, Solid State Physics .