Derivación de las funciones de Green reducidas en el volumen 1 de Polchinski

Primero, debe comprender cómo resolver la ecuación de Poisson simple en un plano (conformemente equivalente a una esfera). La solución es un múltiplo de$\ln|z_1-z_2|$. Esta es la contrapartida 2D del hecho 3D de que el Laplace de$1/r$es$-4\pi\delta^{(3)}(\vec r)$y puede probarse usando la misma prueba de la ley de Gauss.

La ecuación de Laplace, una sin la función delta en el lado derecho, tiene soluciones que determinan la ambigüedad de la solución anterior: algunas funciones holomorfas y antiholomorfas que ni siquiera están escritas. Ahora, puede agregar el$X_0^2$fuente en el lado derecho, también. En realidad, es necesario que la solución se comporte bien en el infinito para que la solución en el plano pueda interpretarse como una solución en$S^2$. Verifique que la solución que escribió resuelve las ecuaciones. En general, no existe un procedimiento "muy sencillo" para resolver ecuaciones diferenciales, por supuesto. Uno puede mejorar con algo de experiencia, pero no es razonable suponer que todas estas soluciones se pueden encontrar mecánicamente siguiendo un "procedimiento universal para resolver ecuaciones diferenciales". No hay ninguno.

El disco es conformemente equivalente a un semiplano. El eje real se elige para que sea el límite en la representación de Joe. La solución correspondiente tiene un extra$\ln|z_1-\bar z_2|^2$porque uno efectivamente suma las cargas del espejo en$z_2\to \bar z_2$en el otro lado del límite, para tener las condiciones de límite correctas en el límite para que sea una solución para el disco (medio plano) y no solo para la esfera (plano completo). Nuevamente, la actitud sensata es verificar que sea una solución, incluidas las funciones delta donde sea que deban estar, y que tenga las condiciones de contorno correctas. También se puede intentar probar que es la solución más general. Pero eso es todo. No hay forma de converger constructivamente hacia la solución. Se necesita algo de experiencia, conocimiento de qué funciones son soluciones a algunas ecuaciones básicas y algo de experiencia con la forma en que versiones similares o más complicadas de estas ecuaciones pueden relacionarse con las más simples mediante sustituciones y muchos otros pasos.

Análogamente para el plano proyectivo. Sin embargo, ahora tenemos la identificación.$z_2\to -1/\bar z_2$por lo que el argumento del logaritmo podría ser$z_1+1/\bar z_2$pero si lo multiplicas por$\bar z_2$, que solo depende de una variable, llegas a su argumento$1+z_1\bar z_2$. Nuevamente, debe verificar que sea la solución con las condiciones de contorno correctas.

La dependencia de$f$cae en (6.2.17) debido al hecho de que$f$refleja la dependencia de$\omega$pero la teoría es conformemente invariante por lo que la dependencia del factor conforme$\omega$no puede estar allí, especialmente porque las fuentes potenciales de la anomalía conforme en los operadores de vértice y posiblemente en el infinito han sido canceladas. Esa es la explicación más conceptual. Realmente hay una explicación, una respuesta a su pregunta, debajo de la ecuación (6.2.17). Sin embargo, debe verificar este argumento "heurístico, intuitivo y general" mediante un cálculo directo. Es posible porque es una integral gaussiana y todas esas integrales pueden calcularse analíticamente, especialmente si uno tiene una receta para las funciones de Green. El cálculo puede tomar una página y debido a que aparentemente ni siquiera ha intentado comenzar a calcularlo, parece pedagógicamente contraproducente escribir todo porque tal respuesta casi seguramente abriría 100 de nuevas preguntas.

Uno podría ser más detallado, pero al final, también podría verse obligado a escribir una copia 5 veces inflada del enorme libro de 2 volúmenes de Joe, complementado con introducciones adicionales al análisis complejo, cálculo, ecuaciones, integración, sustituciones y quizás más. cosas elementales que no has especificado. No lo haré porque ha estado escribiendo el libro de texto durante 10 años y 10 años por 5 es igual a 50 años y no creo que sea una inversión de tiempo sensata dado que sus preguntas no parecen localizadas en absoluto.

Recientemente, acabo de enterarme de que esto tiene que ver con algo que se llama la forma de Hadamard de la función de Green, con lo que no estoy familiarizado. Se trata más o menos de la estructura de singularidad de la función de dos puntos. En dos dimensiones, la función de Green es aproximadamente la suma de un término logarítmico divergente y un término regular. En dimensiones superiores, la función del verde es aproximadamente la suma de un polo, una divergencia logarítmica y un término regular.

Para ser específicos, la divergencia logarítmica es$\log(d(x,y))$, dónde$d(x,y)$es la distancia (longitud geodésica) entre los dos puntos$x$y$y$. Cuando los dos puntos están muy cerca, la función de Green tiene una divergencia logarítmica. En dimensiones más altas, también debería haber un poste.$1/(d(x-y))^{D}$, que proviene de la distribución de carga puntual.

Es posible que necesite los siguientes documentos:

1. http://DOI:2010.1007/BF01196934
2. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00338657/document

Espero que sean útiles para usted.

La pregunta está relacionada con lo siguiente.

Explicaciones físicas simples para el comportamiento de Hadamard de funciones de dos puntos