Tengo dificultades para resolver las condiciones de contorno de una capa conductora infinitamente delgada en presencia de un campo alterno.
Yo uso las ecuaciones de Maxwell:
El problema surge con los dos últimos. Para campos estacionarios los términos
y
desaparecer, y puedo usar las condiciones de contorno del "libro de texto" como:
¿Esas ecuaciones obtienen un término adicional?
en el caso de campos variables en el tiempo?
Si lo hacen, esos términos son diferentes arriba y abajo de la hoja, y no estoy seguro de qué valor se debe usar.
La corriente en la hoja
resulta estar descontinuado también.
¿Qué campo (actual) debe usarse como campo en el límite mismo?
Asumiría que es el promedio de los campos directamente por encima y por debajo del límite, pero en su mayoría estoy adivinando y no sé una prueba exacta. Estoy profundamente agradecido por cualquier ayuda.
Los tratamientos que he visto asumen que las frecuencias son lo suficientemente bajas como para que la corriente de desplazamiento sea insignificante con respecto al voltaje: . (Esta simplificación puede considerarse la definición de un conductor "malo"). Esa simplificación agrega el término.
La condición de contorno proviene de diferenciar Maxwell #4 sobre un círculo con bordes dentro y fuera de la resistencia, y deberías obtener resultados consistentes sin importar qué círculo uses. Si ignora la corriente de desplazamiento, obtiene una condición más simple que la estándar que cita. Para una batería infinitamente gruesa, no puede obtener una ventaja "exterior"; en su lugar, obtiene una ecuación que relaciona el campo H más bajo, el campo H más alto y la corriente de volumen (+ corriente de desplazamiento de superficie si no la descuida).
Probablemente desee sobredeterminar el problema: por ejemplo, si no se especifican el campo H inferior y la corriente de volumen, el campo H total se deja como ejercicio para el lector.
Su problema es singular, por lo que necesita usar la distribución. Los operadores de campo vectorial dicen:
div(B)={div(B)}+n12.(B2-B1)*delta(S) curl(E)={curl(E)}+n12x(E2-E1)*delta(S)
{div(B)} es la función derivada, y delta(S) es la distribución delta 2D ubicada en S. Luego iguala la parte regular con la parte regular y la parte singular (con el delta(S)) con la parte singular en cada ecuación.
Los tratamientos que he visto asumen que las frecuencias son lo suficientemente bajas como para que la corriente de desplazamiento sea insignificante con respecto a la corriente de conducción: . (Esta simplificación puede considerarse la definición de un "buen" conductor). Esa simplificación elimina la término.
La condición de contorno proviene de la integración de Maxwell #4 sobre un rectángulo con bordes dentro y fuera del conductor, y debería obtener resultados consistentes sin importar qué rectángulo use. Si no descuida la corriente de desplazamiento, obtendrá una condición más complicada que la estándar que cita. Para un conductor infinitamente delgado, no puede obtener un borde "adentro"; en su lugar, obtiene una ecuación que relaciona el campo H superior, el campo H inferior y la corriente superficial (+ corriente de desplazamiento superficial si no la descuida).
No desea sobredeterminar el problema: por ejemplo, si se especifican el campo H superior y la corriente superficial, se determina el campo H inferior.
actualización: en realidad, con una conductividad finita , no puede obtener una corriente de superficie distinta de cero en un conductor infinitamente: la resistencia se vuelve infinita en ese límite. Creo que debe considerar un conductor perfecto o un grosor de conductor finito. Jackson, Classical Electrodynamics , Sección 8.1 tiene un tratamiento.