Función de tres puntos en CFT

¡Ya casi estás ahí!

Recordar cómo actúan las dilataciones sobre$\mathcal{O}_i(x_i)$, para exigir la covarianza de la función de 3 puntos que necesita$^{(*)}$

$$\big\langle \mathcal{O}_1(x_1)\mathcal{O}_2(x_2)\mathcal{O}_3(x_3)\big\rangle = \frac{C_{123}}{x_{12}^a\,x_{23}^b x_{31}^c},$$ dónde$x_{ij}:=|x_i-x_j|$(Yo cambio tu$X_{ij}$notación para no llevar un cuadrado extra alrededor) y $$a+b+c = \Delta_1+\Delta_2+\Delta_3 \label{1}\tag{1}.$$ Ahora, bajo SCT, si$y_i := 1 - 2 b_\mu x^\mu_i + b^2 x^2_i$, necesita la función transformada de 3 puntos para igualar la no transformada, es decir $$\frac{C_{123}}{x_{12}^a\,x_{23}^b x_{13}^c} = \frac{C_{123}}{y_{1}^{\Delta_1}\,y_{2}^{\Delta_2} y_{3}^{\Delta_3}}\;\frac{(y_1 y_2)^{a/2}(y_2 y_3)^{b/2}(y_3 y_1)^{c/2}}{x_{12}^a\,x_{23}^b x_{31}^c},$$ con $$a+c= 2\Delta_1, \qquad a+b = 2\Delta_3, \qquad b+c = 2\Delta_3 \label{2}\tag{2}$$ A partir de aquí $\eqref{1}$y $\eqref{2}$tener una solución única $$a = \Delta_1 + \Delta_2 - \Delta_3$$ $$b = \Delta_2 + \Delta_3 - \Delta_1$$ $$c = \Delta_3 + \Delta_1 - \Delta_2,$$ lo que le da a su vez la función de 3 puntos que conoce y ama $$\big\langle \mathcal{O}_1(x_1)\mathcal{O}_2(x_2)\mathcal{O}_3(x_3)\big\rangle = \frac{C_{123}}{x_{12}^{\Delta_1 + \Delta_2 - \Delta_3}\,x_{23}^{\Delta_2 + \Delta_3 - \Delta_1} x_{31}^{\Delta_3 + \Delta_1 - \Delta_2}}.$$

Editar: sobre traducciones y transformaciones de Lorentz

Para las traducciones tenemos que$x_i \mapsto x_i + s$. Entonces$x_i-x_j$es invariante, por lo que$f(x_1,x_2,x_3)$necesita ser$f(x_1-x_2,x_2-x_3,x_3-x_1)$. Ahora de Lorentz obtienes de inmediato que solo deben venir en la forma$|x_i-x_j|=x_{ij}$, es decir$f=f(x_{12},x_{23},x_{31})$(¡Lorentz es como las rotaciones!). El hecho de que sea multiplicativo realmente proviene de la covarianza de dilatación (cf. nota al pie).

un comentario general

Es mucho más útil exigir la covarianza de un$n$-función puntual basada en la transformación de los propios operadores y no a través de esas ecuaciones diferenciales. Es decir, la covarianza de un$n$La función -pt significa que bajo cualquier transformación conforme$x\mapsto x'$:

$$\big\langle \mathcal{O}_1(x_1)\mathcal{O}_2(x_2) \cdots \mathcal{O}_n(x_n)\big\rangle \overset{!}{=} \left\vert\frac{\partial x'}{\partial{x}}\right\vert^{\Delta_1/d}_{x=x_1} \left\vert\frac{\partial x'}{\partial{x}}\right\vert^{\Delta_2/d}_{x=x_2} \kern-3mm\cdots \left\vert\frac{\partial x'}{\partial{x}}\right\vert^{\Delta_n/d}_{x=x_n} \big\langle \mathcal{O}_1(x_1')\mathcal{O}_2(x_2') \cdots \mathcal{O}_n(x_n')\big\rangle.$$

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$^{(*)}$De hecho, en principio debería tener

$$\big\langle \mathcal{O}_1(x_1)\mathcal{O}_2(x_2)\mathcal{O}_3(x_3)\big\rangle = \sum_{\begin{array}{c} a,b,c \\ a+b+c = \Delta_1+\Delta_2+\Delta_3 \end{array}}\frac{C_{123}}{x_{12}^a\,x_{23}^b x_{31}^c},$$ pero hay únicos$a,b,c$(ver argumento principal), por lo tanto, solo un término en la suma.