Conciliar la función de tres puntos con OPE en CFT

La función de tres puntos de los operadores primarios en la teoría de campos conformes se puede fijar en una constante por consideraciones de simetría

⟨ V h 1 ( z 1 ) V h 2 ( z 2 ) V h 3 ( z 3 ) ⟩ = C h 1 h 2 h 3 ( z 1 − z 2 ) h 1 + h 2 − h 3 ( z 1 − z 3 ) h 1 + h 3 − h 2 ( z 2 − z 3 ) h 2 + h 3 − h 1
Por otro lado, debería ser posible derivar este resultado usando la expansión del producto del operador
V h 1 ( z 1 ) V h 2 ( z 2 ) = ∑ h , k C h 1 h 2 h , k ( z 1 − z 2 ) h + | k | − h 1 − h 2 L − k V h ( z 2 )
aquí la suma se realiza sobre todas las dimensiones primarias h y sus descendientes parametrizados por multiíndice k = { k 1 , . . . , k 2 } , | k | = k 1 + ⋯ + k norte . La expansión OPE es válida dentro de la función de correlación dado que no hay otros campos entre puntos z 1 y z 2 . Para la función de tres puntos esto implica que debemos tener | z 3 − z 2 | > | z 1 − z 2 | . Con esta suposición podemos reescribir la función de tres puntos como
⟨ V h 1 ( z 1 ) V h 2 ( z 2 ) V h 3 ( z 3 ) ⟩ = ∑ h , k C h 1 h 2 h , k ( z 1 − z 2 ) h + | k | − h 1 − h 2 ⟨ L − k V h ( z 2 ) V h 3 ( z 3 ) ⟩

Ahora, creo que todas las funciones de dos puntos dentro de la rhs desaparecen a excepción de h = h 3 y k = { } , es decir, para un campo primario del peso h 3 ( esta podría ser la suposición incorrecta que conduce a la inconsistencia ). Entonces, usando el correlador de dos puntos V h ( z 1 ) V h ( z 2 ) = C ( h ) ( z 1 − z 2 ) − 2 h se llega a la siguiente expresión

⟨ V h 1 ( z 1 ) V h 2 ( z 2 ) V h 3 ( z 3 ) ⟩ = ( z 1 − z 2 ) h 3 − h 1 − h 2 ( z 2 − z 3 ) − 2 h 3 C ( h 3 ) C h 1 h 2 h 3 , { }

que claramente tiene una dependencia coordinada diferente. Entonces, ¿cómo se obtiene la función de tres puntos correcta usando el OPE?

Respuestas (1)

Debes sumar todos los descendientes k . En general sus aportes no se desvanecen, aunque van subiendo en el límite z 1 → z 2 . Por ejemplo, la función de dos puntos

⟨ L − 1 V h 3 ( z 2 ) V h 3 ( z 3 ) ⟩ = ∂ ∂ z 2 ⟨ V h 3 ( z 2 ) V h 3 ( z 3 ) ⟩
es claramente distinto de cero.

Gracias, ahora lo veo. Dado que no existe una forma cerrada para los coeficientes descendientes C h 1 h 2 h , k en arbitraria k (corrígeme si me equivoco), ¿crees que es posible realizar la suma total de forma analítica?
No creo que puedas realizar la suma total sobre los descendientes de Virasoro, y tampoco veo por qué querrías hacer eso. Lo que probablemente sea factible es olvidar la simetría de Virasoro y sumar s ℓ 2 descendientes, es decir, poderes de L − 1 . Esto debería darte la misma función de tres puntos.
Bueno, para ver que todo funcione :) De todos modos, la observación clave relevante está contenida en su respuesta.
@WeatherReport, de hecho solo el s yo 2 los descendientes tendrán una función de dos puntos distinta de cero (ya que la función de dos puntos no se anula solo entre s yo 2 -descendientes de cuasi-primarios de las mismas dimensiones, y no- s yo 2 Los descendientes de Virasoro provienen de cuasi-primarios de una dimensión superior). En 2d los coeficientes C son fáciles de derivar, mientras que en d superior puede ver este ejercicio como una forma de calcularlos.
Conciliar la función de tres puntos con OPE en CFT
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v