¿Función de partición que contiene QM?

Una nota al pie en Wikipedia en realidad explica esto.

los$h$aparecer en la partición del espacio de fase no es la constante de Planck, es simplemente el tamaño de una celda de espacio de fase en la que ya no distinguimos estados individuales. Es inicialmente arbitrario. Dado que la constante de Planck proporciona una escala natural por debajo de la cual no deberíamos aplicar el pensamiento clásico, hoy en día a menudo se considera que es esa constante, pero nada en el formalismo clásico lo exige.

Tienes razón en que influye en la entropía, ya que eso es

$$S = k\ln(W)$$

con ¹

$$W = \frac{1}{h^n C} \int_{\text{phase space}}f(\frac{H - E}{\omega})$$

pero la propiedad del logaritmo$\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$significa que esto se elimina de todas las diferencias de entropía, es decir, la elección de$h$no tiene impacto físico. El factor de sobreconteo$C$depende de si el intercambio de partículas individuales/coordenadas del espacio de fase hará una diferencia en el macroestado, y es$C = N!$por$N$partículas idénticas (no realmente indistinguibles , clásicamente).

---

^{1 Aquí,$n$es el número de coordenadas generalizadas (el número de partículas en la configuración habitual),$f(\frac{H - E}{\omega})$es una "función indicadora" del hamiltoniano$H$que alcanza su punto máximo$H = E$con ancho$\omega$(para cualquier noción adecuada de ancho, por ejemplo, podría tomarse como una función gaussiana o rectangular. A menudo, se toma$\omega \to 0$, partida$f$ser el delta de Dirac$\delta(H - E)$, lo que significa que la integral colapsa en la superficie del objeto trazado por la ecuación$H = E$en el espacio de fase, que, para las partículas libres, es una esfera.}

Puede hacer la analogía con la teoría cuántica de campos donde, debido a la falta de una teoría microscópica bien definida, se ve obligado a regularizar la teoría y esperar poder eliminar los parámetros de regularización absorbiéndolos en unas pocas cantidades físicas (masa, carga etc.).

Ahora, si comienza con la función de partición correcta que tiene en cuenta las estadísticas correctas (Fermi Dirac de Bose Einstein), termina con las estadísticas de Maxwell Boltzmann en el límite diluido, donde tiene en cuenta el sobreconteo por la N! en el denominador. Esta es una característica universal en el límite diluido, porque la probabilidad de que dos partículas ocupen el mismo estado desaparece en este límite.

Entonces, se podría decir que Gibbs pudo tener éxito porque existe una teoría universal en el límite de escala diluido. Entonces solo le queda un parámetro de escala (h). En términos de h, algunas cantidades como la entropía son infinitas, pero como señala ACuriousMind en su respuesta, las diferencias de entropía serán independientes de h. Ahora bien, esto no es cierto si considera cambios en los que en un caso tiene efectivamente grados de libertad congelados (por ejemplo, átomos en un sólido) y en el otro caso no (por ejemplo, un gas).