Resolviendo para r=0r=0r=0 en una ley del cuadrado inverso

la ley de la fuerza$F=\frac{Gm_1m_2}{r^2}$se sostiene, en general, sólo para dos masas puntuales. Da la casualidad de que si un cuerpo es esféricamente simétrico y estás estrictamente fuera de ese cuerpo, entonces en cuanto a la fuerza gravitacional que ejerce (aunque no necesariamente la fuerza que experimenta), puede ser reemplazada por una masa puntual (de la misma masa ) en su centro.

En particular, si su masa es$m$entonces la masa de la tierra$M$ejerce una fuerza gravitatoria$F=\frac{GMm}{r^2}$en ti, mientras no estés bajo tierra, donde$r$es la distancia entre usted y el centro de la Tierra: en particular,$r$es al menos tan largo como el radio de la Tierra$R=6300\:\mathrm{km}$, muy lejos de cero.

Si quieres pasar a la clandestinidad, entonces la fuerza que experimentas cambia. En particular, resulta que la atracción gravitatoria de las capas esféricas de roca que se encuentran sobre ti se anula con precisión (porque algunos fragmentos apuntan en una dirección y otros en la otra), y solo te atrae el volumen de roca que se encuentra debajo de ti. que se reduce como$r^3$. El resultado es que la fuerza gravitatoria bajo tierra va más o menos linealmente con la distancia$r$al centro de la tierra,$F=\frac{GMm}{R^3}r$(¡suponiendo una densidad constante!), y no hay singularidad en el centro.

Si tiene masas puntuales, por otro lado, entonces la ley de fuerza$F=\frac{Gm_1m_2}{r^2}$se sostiene, y en$r=0$de hecho, hay una singularidad, y no hay forma de evitarlo. Esto causa todo tipo de dolores de cabeza, particularmente en el electromagnetismo (donde la atracción de Coulomb es idéntica y donde necesitábamos inventar la renormalización para lidiar con las singularidades), pero en muchos sentidos estos solo están presentes en el lado de la teoría.

A menos, por supuesto, que tenga un par de masas puntuales verdaderas en el cajón de su escritorio, en cuyo caso tiene un futuro prometedor en la física por delante.

La idea de que una distribución de carga/masa esférica uniforme es equivalente a una carga/masa puntual funciona para puntos en la superficie y fuera de la distribución esférica y, por lo tanto, la fuerza sobre una masa fuera de la distribución esférica es proporcional al recíproco de la distancia del carga/masa desde el centro de la distribución al cuadrado ($\propto \frac{1}{r^2}$).

Para una carga/masa dentro de la distribución esférica, la fuerza sobre la carga/masa es proporcional a la distancia de la carga/masa desde el centro de la distribución ($\propto r$).

Si hubiera masas puntuales, tendrían una gravedad infinita en r=0. En realidad, no hay masas puntuales con radio = 0, por lo que nunca puede estar infinitamente cerca del centro de masa de algo. En el centro de una masa real como la tierra la gravedad es 0 (debido al teorema de la capa de Newton).

En el contexto de la mecánica newtoniana clásica, una masa puntual es siempre una aproximación para un objeto pequeño con un volumen finito. La ley del inverso del cuadrado solo es válida fuera de la distribución de masa del objeto puntual; como señaló @Farcher, la ley varía linealmente con la distancia al centro dentro de la distribución de masa.

Así nunca llegas a llegar a la$r=0$parte de la ley del cuadrado inverso. Sin embargo, en el contexto de la Relatividad General, existen tales singularidades del espacio-tiempo que se denominan agujeros negros. Corríjame si me equivoco, pero hasta donde yo sé, GR solo se ocupa de lo que sucede fuera de este punto de singularidad particular donde la descripción física se rompe.

En realidad, no estás tocando el suelo sobre el que estás parado. Estás flotando unos pocos pico/nanómetros sobre el suelo, suspendido por campos eléctricos.

Si obtienes suficiente gravedad, puedes acercarte más y más y eventualmente colapsar todo en un agujero negro. Clásicamente, podríamos decir que ahora tienes gravedad "infinita" en un punto, pero la física moderna prefiere decir que simplemente no estamos seguros de lo que sucede allí.

De cualquier manera, nada en la vida normal se acerca lo suficiente como para probar la hipótesis r=0. Y con la física cuántica, la presunción es que las leyes del radio inverso se rompen cuando te acercas mucho, mucho a algo. De hecho, si alguna vez ve una ecuación física que tiene una salida infinita para algún valor de entrada, es bastante seguro asumir que la ecuación diverge de la realidad cerca de ese punto.