¿Por qué el modelo de Bohr tenía electrones en órbitas circulares en lugar de elípticas, como las de los planetas?

Me pregunté eso hace un tiempo y descubrí que Arnold Sommerfeld generalizó la condición de cuantización usando la dinámica hamiltoniana. Cuantificó las coordenadas generalizadas$q_{a}$y sus momentos conjugados$p_{a}$durante un período de movimiento tal que:

Lamento que mi respuesta haya sido un poco confusa. Esto es lo que tengo en mente.

Bohr acaba de agregar una imagen de "cuántica" como una extensión del modelo planetario de Rutherford. El objetivo primitivo era describir la estabilidad del átomo. Lo que Bohr propuso es que los electrones no pueden ocupar ninguna distancia radial del núcleo. Solo puede tener ciertas órbitas espaciales discretas, donde su momento angular es un múltiplo entero de$\hbar$. En resumen, las órbitas en el modelo de Bohr representan estados estacionarios.

Tales estados estacionarios no están disponibles para los planetas. Por ejemplo, si el planeta aumenta un poco su radio, por supuesto, esto afectará su momento angular, el período de tiempo de revolución, etc., puede continuar su movimiento en una nueva órbita. Piensa en los satélites. Podemos determinar el radio en el que se debe lanzar un satélite geosíncrono. Sin embargo, este no es el caso con un electrón, debido a las órbitas espaciales cuantificadas.

Más importante aún, no existe una trayectoria espacialmente bien definida para un electrón. Obviamente, esto no se tiene en cuenta en el modelo de Bohr, ya que el modelo de Bohr se propone antes de la "mecánica cuántica". Según el modelo de Bohr, la energía potencial almacenada en el sistema electrón-núcleo está cuantificada, pero no en el caso del movimiento planetario. El radio permitido para un electrón que ocupa un estado cuántico.$n$es dado por

Ahora bien, ¿por qué no podemos usar órbitas elípticas y las leyes de Kepler en el modelo de Bohr?

Un argumento simple es que las órbitas en el modelo de Kepler se cruzan entre sí. Este no es el caso de los electrones en el modelo de Bohr. Además, según la segunda ley de Kepler, aunque la órbita es simétrica, su movimiento no lo es. El planeta nos acelera cerca del sol y se ralentiza cuando estamos lejos del sol. Esto se puede entender en términos de energía en la imagen clásica. De nuevo, este cambio continuo de energía está prohibido en el modelo de Bohr. Solo se permiten "saltos" cuánticos discretos en el modelo de Bohr.

Todavía no me he detenido en las matemáticas, así que corríjame si me equivoco, pero de acuerdo con la Conferencia Nobel de 1922 de Bohr , una órbita circular es solo una simplificación (que supongo que no tiene efecto en las predicciones hechas por su teoría):

"Siguiendo nuestra imagen de la estructura atómica, un átomo de hidrógeno consta de un núcleo positivo y un electrón que, en la medida en que sean aplicables las concepciones mecánicas ordinarias, describirá con gran aproximación una órbita elíptica periódica con el núcleo en un foco. El eje principal de la órbita es inversamente proporcional al trabajo necesario para sacar completamente el electrón del núcleo y, de acuerdo con lo anterior, este trabajo en los estados estacionarios es exactamente igual a$hK/n^2$. Llegamos así a una variedad de estados estacionarios para los cuales el eje mayor de la órbita del electrón toma una serie de valores discretos proporcionales a los cuadrados de los números enteros. La Fig. 2 adjunta muestra estas relaciones esquemáticamente. En aras de la simplicidad, las órbitas de los electrones en los estados estacionarios se representan mediante círculos, aunque en realidad la teoría no establece ninguna restricción sobre la excentricidad de la órbita, sino que solo determina la longitud del eje mayor. " La Estructura del Átomo, Conferencia Nobel 1922, Niels Bohr, p.17

Sin embargo, me pregunto si este fuera el caso, por qué la órbita es circular (o, de manera equivalente, el momento angular está cuantificado) casi siempre se enseña como un postulado de su teoría.