¿Es W=∮F⃗ .dr⃗ =0W=∮F→.dr→=0W=\oint{\vec{F}.d\vec{r}}=0 condición suficiente para la fuerza conservativa?

Demostrando que

$\oint \vec{F}\cdot d\vec{r}=0$

es suficiente para establecer que la fuerza es conservativa si es verdadera para todos los caminos posibles . Solo lo demostraste para un solo camino, ese es el de un círculo de radio$r$centrado en el origen.

Puede haber una manera más eficiente de probar el mismo resultado, dependiendo del contexto, usando la misma ecuación en forma diferencial en lugar de la forma integral. La idea es usar el teorema de Stokes para escribir

$\oint \vec{F}\cdot d\vec{r}=\int\limits_\Omega (\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{A},$

dónde$\Omega$es la superficie encerrada por el camino cerrado del lado izquierdo. Ahora, observe que la ecuación del lado derecho siempre será cero si

$\nabla\times\vec{F}=0$

en todos lados. A menudo es mucho más simple probar esto en su lugar.

En aras de la exhaustividad, también hay una tercera opción. Una fuerza conservativa se puede escribir como el gradiente de un potencial$\phi$, eso es

$\vec{F}=-\nabla\phi$.

Esto se deduce de la condición anterior, ya que el rotacional de un gradiente siempre es cero (siempre que la función$\phi$se comporta bien, lo que se puede suponer a través de gran parte de un plan de estudios de física de pregrado).

Dejar$\mathbf F\colon \Omega \subseteq \mathbb R ^d \to \mathbb R ^d$ser un campo vectorial suave, definido en un subconjunto abierto de$\mathbb R ^d$. Considere las tres condiciones siguientes.

1. Por cada camino cerrado$\gamma$en$\Omega$: $$\intop _{\gamma} \mathbf F \cdot \text d \mathbf s=0$$
2. Existe$\phi \colon \Omega \to \mathbb R$tal que$\mathbf F = -\nabla \phi$.
3. $$\nabla \times \mathbf F \equiv 0.$$

Es fácil demostrar que$(2)\implies (1)$. También,$(1)\implies (2)$si$\Omega$está conectado, porque en ese caso

Investiguemos las relaciones de$(1),(2)$con$(3)$. Por cálculo directo,$(2)\implies (3)$(si$\phi$es suficientemente regular, por ejemplo, si las segundas derivadas son continuas). También si$\Omega$está conectado, ya que$(1)\implies (2)$,$(1)\implies (3)$. quiero mostrarte que$(1)$no sigue de$(3)$. Esto es relevante para su caso. Dejar$\Omega = \mathbb R^2 - \lbrace 0 \rbrace$y deja

El problema aquí es que$\Omega$está conectado pero no simplemente conectado . Si tuviéramos que usar el criterio del rotor aquí, concluiríamos, por ejemplo, que el campo magnético generado por una corriente uniforme en un alambre infinito es un gradiente, lo cual es incorrecto. Sin embargo, una versión más débil de$(3)\implies (1),(2)$tiene: si$\nabla \times \mathbf F=0$, entonces$\mathbf F$es localmente (digamos, en una esfera sólida contenida en$\Omega$) un gradiente.

Hay tres criterios equivalentes para la demostración de una fuerza conservativa$\mathbf F$: La desaparición del rizo de$\mathbf F$, la integral de línea de$\mathbf F$alrededor de una curva cerrada siendo cero y la existencia de un potencial escalar que$\mathbf F$puede escribirse como el gradiente de. Cualquiera de estos implica los otros dos (y, por lo tanto, todos están relacionados por declaraciones iff).

Por ejemplo, se puede ver que los dos primeros están relacionados a través del teorema de Stoke

Entonces, simplemente calculando el rotacional de$\mathbf F$y al verlo desaparecer también habrías demostrado que$\mathbf F$es conservador.