¿Por qué el período de rotación es el mismo para dos estrellas que orbitan alrededor del mismo centro?

El centro de masa del sistema binario no puede moverse porque no actúan fuerzas externas.

La línea que une las dos estrellas siempre debe pasar por el centro de masa, porque por definición el centro de masa se encuentra en la línea entre las dos estrellas.

Eso significa que las dos estrellas deben orbitar con el mismo período. Si sus períodos no fueran los mismos, no podrían permanecer en lados opuestos del COM.

La tercera ley de Kepler es irrelevante aquí. Se aplica a muchos planetas (pequeños) que orbitan alrededor de una estrella central (grande), no a un sistema estelar binario.

Si las estrellas tienen masas$m_1$y$m_2$y los radios del COM son$r_1$y$r_2$, luego de la definición del COM,$m_1r_1 = m_2r_2$.

La fuerza central (gravitatoria)$F$la actuación sobre cada estrella es la misma, pero las aceleraciones centrales son diferentes porque las masas son diferentes. Si las aceleraciones radiales son$a_1$y$a_2$, después$a_1 = F/m_1$y$a_2 = F/m_2$.

Si las velocidades angulares son$\omega_1$y$\omega_2$, para órbitas circulares tenemos$a_1 = r_1 \omega_1^2$y$a_2 = r_2 \omega_2^2$.

Asi que$\omega_1^2 = a_1/r_1 = F/(m_1r_1)$y$\omega_2^2 = F/(m_2r_2)$.

Ya que$m_1r_1 = m_2r_2$, tenemos$\omega_1 = \omega_2$.

Tenga en cuenta que no necesitábamos usar la ley de gravitación del inverso del cuadrado de Newton, que está implícita en la tercera ley de Kepler. Solo necesitábamos la tercera ley de Newton, es decir, dado que las dos estrellas forman un sistema cerrado, las fuerzas internas sobre las estrellas son iguales y opuestas.

Estás combinando dos preguntas, yo estoy combinando dos respuestas.

El sistema que describes consta de dos puntos con masas. Lo sabemos:

• Cada dos puntos$A$y$B$acostarse en una sola línea;
• Cuando la línea gira alrededor del eje que la intersecta, todos los puntos de la línea tienen la misma velocidad angular$\omega$, a excepción de la intersección con$\omega_0=0$;
• Centro de masa$C$de dos puntos se encuentra entre ellos, por lo que son colineales.

Entonces, cuando las estrellas se mueven en cualquier dirección, sus velocidades angulares, medidas contra su centro de masa, serán las mismas, sin importar cómo y por qué se muevan.

La ley de Kepler se derivó para un sistema binario donde un planeta con masa despreciable orbita alrededor de su estrella y esta estrella es el centro de masa de este sistema y sirve para comparar períodos de dos planetas con diferentes distancias de su estrella.