Dependencia angular del elemento de masa de una elipse

Question

Dependencia angular del elemento de masa de una elipse

corey979

Tengo una elipse (un anillo, no un disco; su centro de masa en $C$ ) con una densidad lineal constante y masa $m$ , con semiejes $a>b$ ; $\alpha$ es un ángulo dinámico que describe la orientación del cuerpo en el espacio. $P_1, P_2$ son puntos antípodas arbitrarios en la elipse, con masa ${\rm d}m$ cada; su ubicación está descrita por el ángulo $\beta$ .

Pregunta: ${\rm d}m$ tiene que ser de alguna manera dependiente de $\beta$ (Tendré que sumar sobre todo $P_1$ , $P_2$ pares, es decir, integrar sobre $\beta$ ), pero no estoy seguro de cómo. Cómo relacionar el elemento de masa ${\rm d}m$ con el ángulo $\beta$ ?

qmecanico

Hola corey979. Bienvenido a Phys.SE. Si aún no lo ha hecho, tómese un minuto para leer la definición de cuándo usar la etiqueta de tarea y ejercicios y la política de Phys.SE para problemas similares a la tarea.

jerbo sammy

Creo que la etiqueta de tarea y ejercicios es aplicable aquí, porque está preguntando sobre un cálculo que está tratando de hacer: así que esto es un ejercicio. La política del sitio requiere que muestres tu intento (lo que has hecho), pero también que preguntes sobre un concepto físico específico . No estoy seguro de que encontrar una relación entre

m

$m$ y

β

$\beta$ es un tema conceptual . ...

d m

$dm$ se relaciona con la densidad y el volumen de un elemento del elipsoide, por lo que debe expresar el volumen de un elemento en coordenadas adecuadas, por ejemplo, cartesianas

d x d y d x

$dx dy dx$ o esferico

r^{2} \sin θ d r d θ d ϕ

$r^2\sin\theta dr d\theta d\phi$ .

Respuestas (1)

Dependencia angular del elemento de masa de una elipse

Hola corey979. Bienvenido a Phys.SE. Si aún no lo ha hecho, tómese un minuto para leer la definición de cuándo usar la etiqueta de tarea y ejercicios y la política de Phys.SE para problemas similares a la tarea.
Creo que la etiqueta de tarea y ejercicios es aplicable aquí, porque está preguntando sobre un cálculo que está tratando de hacer: así que esto es un ejercicio. La política del sitio requiere que muestres tu intento (lo que has hecho), pero también que preguntes sobre un concepto físico específico . No estoy seguro de que encontrar una relación entre $m$ y $\beta$ es un tema conceptual . ... $dm$ se relaciona con la densidad y el volumen de un elemento del elipsoide, por lo que debe expresar el volumen de un elemento en coordenadas adecuadas, por ejemplo, cartesianas $dx dy dx$ o esferico $r^2\sin\theta dr d\theta d\phi$ .

MariusMatutiae · Answer 1

El elemento $dm = \lambda ds$ , dónde $ds$ es la longitud del arco a lo largo de la elipse. Si la elipse tiene ecuación

\frac{X^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ,

con $a>b$ en aras de la definición, su representación paramétrica en términos de $\gamma$ , el ángulo entre el eje mayor y el punto actual de la elipse, visto desde el centro de la elipse, es:

X = a porque γ, y = b pecado γ

$x = a \cos\gamma, y = b\sin\gamma$

a partir del cual

d metro = λ \sqrt{a^{2} {pecado}^{2} γ + b^{2} porque γ} d γ

$dm = \lambda \sqrt{a^2 \sin^2\gamma + b^2\cos\gamma} d\gamma$

Por tu trama, me parece que $\gamma = \alpha + \beta$ , a partir del cual debería poder obtener su resultado. Pero, repito, no estoy seguro de si $C$ , en tu diagrama, es el centro de la elipse, y si el ángulo $\alpha$ identifica el eje mayor de la elipse. Si la respuesta a ambas preguntas es afirmativa, entonces se cumple lo anterior.

Dependencia angular del elemento de masa de una elipse

corey979

qmecanico

jerbo sammy

Respuestas (1)

MariusMatutiae

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