Integrando la caída libre radial en la gravedad newtoniana [duplicado]

Question

Integrando la caída libre radial en la gravedad newtoniana [duplicado]

kam

Pensé que sería una pregunta sencilla, pero tengo problemas para resolverla. No es una tarea por cierto. Soy estudiante de física y estoy genuinamente interesado en los problemas de física que involucran matemáticas, que serían todos.

Así que digamos que dejamos caer un objeto desde una altura, $R+r$ , cae hacia la tierra. esta altura, $R+r$ , está lo suficientemente lejos como para que el $g$ experimenta es una fracción de $g$ al nivel del mar. Digamos que la resistencia del aire es insignificante, y no sería tan complicado simplemente integrar desde $0$ velocidad a la velocidad terminal por partes y tratar con el resto más tarde.

Así que la clave aquí es que la aceleración cambia con el tiempo. Pensé que podría simplificar esto diciendo que cambia con la distancia y que no tiene nada que ver con el tiempo, pero esto realmente no ayudó, supongo que tal vez el tiempo es importante (doh).

Intenté integrar la aceleración con el tiempo y no llegué a ninguna parte. Traté de integrar $a=GM/R^2$ con respecto a $R$ de $R+r$ a $R$ y terminó con una función negativa.

Vi en alguna parte que alguien trató de expandirse con series de Taylor, incluso tienen algo similar sobre hiperfísica, pero no puedo entender cómo obtener los polinomios que preceden a las variables.

http://hiperfísica.phy-astr.gsu.edu/hbase/images/avari.gif

Este es el sitio de hiperfísica donde usan polinomios para encontrar la distancia. http://hiperfísica.phy-astr.gsu.edu/hbase/avari.html#c1

Tal vez no pueda resolver esto porque todavía no he tomado un curso de ecuaciones diferenciales. Lo que quiero saber es cómo calcular la distancia en cualquier momento.

matriz de dilitio

Sería útil que mostraras algo de tu trabajo y explicaras lo que estabas buscando.

Brandon Enright

Debido a que no hay resistencia del aire, esto solo requiere integración (no una ecuación diferencial). La ecuación no relativista debería ser lo suficientemente buena para la mayoría de las situaciones.

kam

la última ecuación en la que estuve trabajando fue esta:

a = a_{0} + 2 / x^{3} = 1 / x^{2} + 2 / x^{3}

$a=a_0+2/x^3=1/x^2+2/x^3$ Básicamente, descarté la constante gravitacional y la masa de la tierra para simplificar las cosas. y de hecho, incluso esta ecuación me parece incorrecta, porque integrando

1 / x^{2}

$1/x^2$ debería dar

- 2 / x^{3}

$-2/x^3$ . Pero pensé que sería una tontería, quiero agregar aceleración, no restarla.

kam

Entiendo que la forma correcta es seguir lo que estaba haciendo la hiperfísica, que se está expandiendo como una serie de Taylor, porque vi a alguien más haciendo eso en este sitio. Pero no sé cómo obtener las constantes de la serie. Por eso pensé que necesitaría saber ecuaciones diferenciales, porque estaba viendo algunos videos del mit y no estoy seguro de cómo hacer soluciones de contorno y cosas así. Por ejemplo, ¿no tendría que usar una EDO en la que tengamos en cuenta la frecuencia, o algo por el estilo? Supongo que mi pregunta original era tonta.

david z

¿Estás buscando esto ? (también esto )

kam

Sí, estoy tratando de guiarme a través de sus cálculos para el primer paso. Entiendo que usaste el vector de separación r. Entiendo que estableces F=ma donde a es el doble de la derivada de r. Estoy confundido sobre cómo llegaste a

G (m_{1} + m_{2})

$G(m_1+m_2)$ de las ecuaciones anteriores. Gracias por la información. Seguiré leyendo hasta que descubra esto.

qmecanico

Hola Kamy. Véase, por ejemplo , Wikipedia . Además, si aún no lo ha hecho, tómese un minuto para leer la definición de cuándo usar la etiqueta de tarea y la política de Phys.SE para problemas similares a la tarea.

Respuestas (3)

Integrando la caída libre radial en la gravedad newtoniana [duplicado]

Sería útil que mostraras algo de tu trabajo y explicaras lo que estabas buscando.
Debido a que no hay resistencia del aire, esto solo requiere integración (no una ecuación diferencial). La ecuación no relativista debería ser lo suficientemente buena para la mayoría de las situaciones.
la última ecuación en la que estuve trabajando fue esta: $a=a_0+2/x^3=1/x^2+2/x^3$ Básicamente, descarté la constante gravitacional y la masa de la tierra para simplificar las cosas. y de hecho, incluso esta ecuación me parece incorrecta, porque integrando $1/x^2$ debería dar $-2/x^3$ . Pero pensé que sería una tontería, quiero agregar aceleración, no restarla.
Entiendo que la forma correcta es seguir lo que estaba haciendo la hiperfísica, que se está expandiendo como una serie de Taylor, porque vi a alguien más haciendo eso en este sitio. Pero no sé cómo obtener las constantes de la serie. Por eso pensé que necesitaría saber ecuaciones diferenciales, porque estaba viendo algunos videos del mit y no estoy seguro de cómo hacer soluciones de contorno y cosas así. Por ejemplo, ¿no tendría que usar una EDO en la que tengamos en cuenta la frecuencia, o algo por el estilo? Supongo que mi pregunta original era tonta.
Sí, estoy tratando de guiarme a través de sus cálculos para el primer paso. Entiendo que usaste el vector de separación r. Entiendo que estableces F=ma donde a es el doble de la derivada de r. Estoy confundido sobre cómo llegaste a $G(m_1+m_2)$ de las ecuaciones anteriores. Gracias por la información. Seguiré leyendo hasta que descubra esto.
Hola Kamy. Véase, por ejemplo , Wikipedia . Además, si aún no lo ha hecho, tómese un minuto para leer la definición de cuándo usar la etiqueta de tarea y la política de Phys.SE para problemas similares a la tarea.

Juan Alexiou · Answer 1

Si $h$ es la altura sobre la tierra entonces

\ddot{h} = - \frac{GRAMO METRO}{(R + h)^{2}}

$\ddot{h} = -\frac{G M}{(R+h)^2}$

\ddot{h} = \frac{d \dot{h}}{d t} = \frac{d \dot{h}}{d h} \frac{d h}{d t} = \frac{d \dot{h}}{d h} \dot{h}

$\ddot{h} = \frac{{\rm d} \dot{h}}{{\rm d}t}= \frac{{\rm d} \dot{h}}{{\rm d}h} \frac{{\rm d} h}{{\rm d}t} = \frac{{\rm d} \dot{h}}{{\rm d}h} \dot{h}$

\int \ddot{h} d h = \int \dot{h} d \dot{h} = \frac{1}{2} {\dot{h}}^{2} + k

$\int \ddot{h}\; {\rm d} h = \int \dot{h}\; {\rm d} \dot{h} = \frac{1}{2} \dot{h}^2 + K$

\int - \frac{GRAMO METRO}{(R + h)^{2}} d h = \frac{1}{2} {\dot{h}}^{2} + k_{1}

$\int -\frac{G M}{(R+h)^2}\; {\rm d} h = \frac{1}{2} \dot{h}^2 + K_1$

\frac{GRAMO METRO}{R + h} = \frac{1}{2} {\dot{h}}^{2} + k_{1}

$\frac{G M}{R+h} = \frac{1}{2} \dot{h}^2 + K_1$

Dada la velocidad inicial de 0 a una altura $h_0$ entonces $K_1=\frac{G M}{R+h_0}$ y

\dot{h} = \sqrt{\frac{2 GRAMO METRO (h_{0} - h)}{(R + h) (R + h_{0})}}

$\dot{h} = \sqrt{ \frac{2 G M (h_0-h)}{(R+h)(R+h_0)}}$ da el perfil de velocidad en función de la altura

h

$h$ . El tiempo de distancia es

t = \int \frac{1}{\dot{h}} d h + k_{2}

$t = \int \frac{1}{\dot{h}}\;{\rm d}h + K_2$

que se puede expresar como

t \sqrt{\frac{2 GRAMO METRO}{(R + h_{0})^{3}}} = {porque}^{- 1} (\sqrt{\frac{R + h}{R + h_{0}}}) - \sqrt{\frac{r + h}{R + h_{0}} (1 - \frac{R + h}{R + h_{0}})}

$t \sqrt{ \frac{2 G M}{(R+h_0)^3} } = \cos^{-1}\left( \sqrt{ \frac{R+h}{R+h_0}}\right) - \sqrt{ \frac{r+h}{R+h_0} \left( 1 - \frac{R+h}{R+h_0} \right) }$

Una aproximación cercana de lo anterior es

h \approx (R + h_{0}) (1 - {(\frac{9 GRAMO METRO}{2 r_{0}^{3}} t^{2})}^{\frac{1}{3}}) - R

$h \approx (R+h_0)\left(1-\left( \frac{9 G M}{2 r_0^3} t^2 \right)^\frac{1}{3} \right) - R$

Me gustaría agregar que esto es solo para proyección vertical, en general, la ruta es una ruta vectorial. Para este caso: $\vec{r} (t) = (R_{mi} + h (t)) \hat{k}$ $\vec{r}(t) = (R_{E} + h(t) ) \hat k$ $| \vec{r} (t) | = R_{mi} + h (t)$ $|\vec{r}(t)| = R_{E} + h(t)$ $\frac{| \vec{d r} |}{d h} = 1$ $\frac{|\vec{dr}|}{dh} = 1$ $| \vec{d r} | = d h$ $|\vec{dr}|= dh$ Por eso "dr=dh". Cuando la ruta no está en la forma anterior, pero tiene otros componentes vectoriales, se vuelve mucho más complicado.

xaxa · Answer 2

¿Por qué no usas la conservación de energía? Dado que esta es una tarea unidimensional en el campo potencial, será suficiente

mi / metro = 0 - \frac{GRAMO METRO}{r (0)} = \frac{v (t)^{2}}{2} - \frac{GRAMO METRO}{r (t)}

$E/m = 0 - \frac{GM}{r(0)} = \frac{v(t)^2}{2} - \frac{GM}{r(t)}$

Para su suposición de que el movimiento es estrictamente radial y hacia abajo, tiene $v(t) = dr(t)/dt < 0$ para que puedas resolver $dr(t)/dt$ y obtenga un diferencial ordinario de primer orden que se puede resolver separando las variables.

Esto no es lagrangiano, esto es energía total ( $E$ ) = cinético( $mv^2/2$ ) + potencial( $-GmM/r$ ). En $t=0$ tienes energía cinética = 0. Resuelve esto para $v(t)^2$ algebraicamente, entonces tienes $v(t)^2 = F(r)$ . Entonces te pones $v(t) = dr/dt$ y tome un signo menos al extraer la raíz cuadrada, por lo que tiene $dr/dt = -\sqrt{F(r)}$ . Luego simplemente reorganizas para obtener $-dr/\sqrt{F(r)} = dt$ e integrar. A la izquierda tienes una función solo de $r$ , sólo a la derecha de $t$ .

Mate · Answer 3

Pensé que la gravedad es una aceleración uniforme, no una aceleración creciente.

Posición: $y(t) = \frac{1}{2} g t^2$

Velocidad: $y'(t) = gt$ ;

Aceleración: $y''(t) = g$ ;

Esta afirmación solo es cierta siempre que la altura sobre el suelo sea despreciable con respecto al radio de la tierra. Generalmente, la fuerza gravitacional se debilita con el cuadrado de la distancia al centro de masa del objeto gravitatorio.

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