¿Cuál es mi dMdM\mathrm dM? Potencial gravitatorio dentro de un círculo de masa

Question

¿Cuál es mi dMdM\mathrm dM? Potencial gravitatorio dentro de un círculo de masa

mrmuszynski

Estoy tratando de encontrar el potencial gravitacional de un punto arbitrario dentro de un anillo de densidad de masa uniforme. El punto está obligado a estar en el mismo plano que el anillo.

Así que empezamos con:

Φ = \int GRAMO \frac{d METRO}{r}

$\Phi=\int G\frac{\mathrm dM}{r}$

Supongamos que el punto de interés está a lo largo de la $x$ eje $r$ lejos del origen (que está en el centro del anillo). Un punto arbitrario en el anillo se encuentra en:

a porque ϕ \hat{X} + a pecado ϕ \hat{y}

$a\cos\phi\hat{x}+a\sin\phi\hat{y}$

Y por supuesto el punto de interés es:

r \hat{X}

$r\hat{x}$

La distancia entre el punto de interés y un punto arbitrario en el anillo es entonces:

\sqrt{r^{2} - 2 a r porque ϕ + a^{2}}

$\sqrt{r^2-2ar\cos\phi+a^2}$

Volviendo a la integral anterior, obtenemos:

Φ = \int GRAMO \frac{d METRO}{\sqrt{r^{2} - 2 a r porque ϕ + a^{2}}}

$\Phi=\int G\frac{\mathrm dM}{\sqrt{r^2-2ar\cos\phi+a^2}}$

Fresco. Estoy bastante feliz hasta este punto, pero ¿qué hago con el $\mathrm dM$ ? Si estuviera en el centro del círculo, usaría $\mathrm dM=r\mathrm d\phi$ . Pero siento que no debería ser tan simple si el centro de mi integración no es el centro del círculo. debo usar

\sqrt{r^{2} - 2 a r porque ϕ + a^{2}} d ϕ ?

$\sqrt{r^2-2ar\cos\phi+a^2}\mathrm d\phi~?$ ¿Estoy completamente fuera de lugar aquí?

Respuestas (3)

¿Cuál es mi dMdM\mathrm dM? Potencial gravitatorio dentro de un círculo de masa

floris · Answer 1

Creo que el siguiente diagrama debería ayudar:

Es perfectamente legal (y simplifica las matemáticas) usar el centro del círculo como el "centro de integración", siempre que use el valor correcto de $d$ para la distancia al elemento de masa $dM$ .

Entonces tu ecuación para el potencial debería usar $d=\sqrt{a^2+r^2-2ar\cos\phi}$ , y luego puedes expresar todo en términos del ángulo $\phi$ y la masa total del anillo, $M$ :

\begin{aligned} Φ & = \int GRAMO \frac{d METRO}{d} \\ = \int GRAMO \frac{METRO d ϕ}{2 π a d} \\ = \int_{0}^{2 π} GRAMO \frac{METRO d ϕ}{2 π a \sqrt{a^{2} + r^{2} - 2 a r porque ϕ}} \end{aligned}

$\begin{align}\Phi &= \int G\frac{dM}{d}\\ &= \int G\frac{M d\phi}{2\pi a ~d}\\ &= \int_0^{2\pi} G\frac{M d\phi}{2\pi a ~\sqrt{a^2+r^2-2ar\cos\phi}}\end{align}$

Ali Moh · Answer 2

$\mathrm dM$ es solo $\rho \mathrm dV$ , dónde $\rho$ es la densidad y $\mathrm dV$ es el elemento de volumen. en tu caso entonces $\mathrm dM = \delta(r-R)\delta (\theta - \pi/2)\lambda r^2 \, \mathrm dr \, \mathrm d\theta \, \mathrm d\phi = \lambda R \, \mathrm d\phi$

¿Puedes explicar la notación? $\delta(r-R)\Theta(\theta-\pi/2)$ ? ¿Es eso solo una forma funcional de densidad y ángulo? ¿Por qué toman los argumentos que les das?
el $\Theta$ debería haber sido un $\delta$ (editado). Es solo una forma formal de decir que la densidad es cero en todas partes excepto en $\theta = \pi/2$ y $r=R$ , cual es el anillo..
ah $\delta$ es una función de Dirac. Lo entiendo. Para ir desde el medio de su segunda línea hacia la derecha, ¿simplemente integra wrt $\theta$ y $r$ ? ¿Esto todavía se mantiene con $dM$ es parte de la integral anterior? Dónde están $r$ términos en otras partes de la integral?
Sí, reemplazas el $r$ términos en la integral con $R$ , por lo que solo hay una integración sobre $\phi$

ben s · Answer 3

Depende, ¿el anillo es infinitamente delgado? En otras palabras, ¿te dan $\lambda$ (densidad por longitud) o $\rho$ (densidad por volumen). si dan $\lambda$ , entonces $dM=\lambda rd\phi$ . Esto es porque $rd\phi$ es una longitud diferencial, y multiplicándola por $\lambda$ te da la masa diferencial en ese punto. Entonces solo integras desde $\phi = 0$ a $\phi = 2\pi$ .

Más fórmula, puede hacer lo que Martin Ueding publicó e integrar en todo el espacio e incluir funciones delta de Dirac en la densidad para que, al final, obtenga solo una contribución distinta de cero de la integración en el anillo de todos modos.

¿Cuál es mi dMdM\mathrm dM? Potencial gravitatorio dentro de un círculo de masa

mrmuszynski

Respuestas (3)

floris

Ali Moh

mrmuszynski

Ali Moh

mrmuszynski

Ali Moh

ben s

¿Cómo calcular el centro de masa de un hemisferio hueco con cierto espesor?

Confundido por la gravedad y el peso [cerrado]

¿Resolver para la velocidad inicial de un proyectil dado el ángulo, la gravedad y las posiciones inicial y final?

¿Cuál fue la velocidad de salida de un arma casera lanzada hacia arriba si el tiempo de aire fue de 8,2 segundos?

¿Por qué el período de rotación es el mismo para dos estrellas que orbitan alrededor del mismo centro?

Pon una bala en órbita alrededor de la luna

Determinar la velocidad inicial de un objeto que fue lanzado (CON resistencia del aire)

En este problema particular: ¿Es la masa del sistema la masa de la persona?

Movimiento descrito por a=kx2a=kx2a=\frac{k}{x^2}

Velocidad para lanzar algo al espacio.