g(r)=−∇ψ(r)g(r)=−∇ψ(r)\mathbf{g}(\mathbf{r})=-\boldsymbol{\nabla}\psi(\mathbf r): buscando un error de signo menos

Considere la siguiente figura

ingrese la descripción de la imagen aquí

dónde R = ( X − X ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 + ( z − z ′ ) 2 = | r − r ′ | es el modulo de R vector depende no sólo de la ubicación del PAG punto sino también en la ubicación PAG ′ donde el d V ′ se encuentra el volumen (fijo una vez ubicado en el volumen V ). Obviamente si cambias PAG ′ = ( X ′ , y ′ , z ′ ) también cambiará R . Dado que el potencial

ψ ( r ) = − GRAMO ∭ V ρ ( X ′ , y ′ , z ′ ) d X ′ d y ′ d z ′ | r − r ′ |

calculamos el gradiente de la cantidad

∇ ( r ) 1 | r − r ′ |

Cálculo, respectivamente, de las derivadas parciales ∂ X = ∂ / ∂ X , ∂ y = ∂ / ∂ y y ∂ z = ∂ / ∂ z en comparación con la función 1 / | r − r ′ | , tendremos

∂ ∂ X 1 ( X − X ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 + ( z − z ′ ) 2 = ∂ ∂ X ( ( X − X ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 + ( z − z ′ ) 2 ) − 1 2 = = ( − 1 2 ) [ … … ] − 3 2 ⋅ 2 ⋅ ( X − X ′ ) = = − X − X ′ R 3

Similarmente

∂ ∂ y 1 ( X − X ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 + ( z − z ′ ) 2 = − y − y ′ R 3
∂ ∂ z 1 ( X − X ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 + ( z − z ′ ) 2 = − z − z ′ R 3

Por eso

∇ ( r ) 1 | r − r ′ | = − r − r ′ | r − r ′ | 3 .
a partir del cual

(*) ∇ ( r ) ψ ( r ) = ∇ ( r ) ( − GRAMO ∭ V ρ ( X ′ , y ′ , z ′ ) d X ′ d y ′ d z ′ | r − r ′ | ) = = − GRAMO ∭ V ( ∇ ( r ) 1 | r − r ′ | ) ρ ( X ′ , y ′ , z ′ ) d X ′ d y ′ d z ′ = = − GRAMO ∭ V ( − r − r ′ | r − r ′ | 3 ) ρ ( X ′ , y ′ , z ′ ) d X ′ d y ′ d z ′ = = GRAMO ∭ V ρ ( X ′ , y ′ , z ′ ) d X ′ d y ′ d z ′ R 2 R ^ = gramo ( r )

Pregunto con tanta amabilidad, considerando que tengo que demostrar que gramo ( r ) = − ∇ ψ ( r ) No pude encontrar el error de un signo menos faltante en los diversos pasos del ( ∗ ) .

Espero que aprecies mi esfuerzo y mi pregunta es clara.

Debes tener cuidado con la derivada de 1 / R , y la definición explícita de R . Lo es r − r ′ o r ′ − r ?
@OktayDoğangün R = r − r ′ ciertamente. Si hubiera sido al revés, se habría encontrado el signo menos. Muchas gracias por tu comentario.
Tenga en cuenta que las preguntas de tarea y las preguntas de verificación de mi trabajo generalmente se consideran fuera de tema aquí. Pretendemos que nuestras preguntas sean potencialmente útiles para un conjunto más amplio de usuarios que solo el que pregunta, y preferimos las preguntas conceptuales a las que solo piden un cálculo específico. Además, no está claro lo que realmente está haciendo porque, a excepción de la etiqueta "gravedad newtoniana", no hay nada que ver con lo que realmente significan algunos de sus símbolos, como el potencial.
@ACuriousMind Para mí, era importante comprender mejor también la pregunta del usuario que me dio una respuesta poco clara. Evidentemente me di cuenta de que el espíritu de este sitio es diferente de cómo pienso. Muchas gracias.

Respuestas (1)

La expresión para el campo gravitacional inducido por la colección de masas PAG ′ en el punto P se lee

gramo ( r ) = GRAMO ∭ V ( − r − r ′ | r − r ′ | 3 ) ρ ( X ′ , y ′ , z ′ ) d X ′ d y ′ d z ′ .

Esto resuelve el problema del signo, como puede ver fácilmente en la línea 3 de (*). Si el signo menos en la expresión no hubiera estado ahí, el campo gravitatorio estaría apuntando en la dirección de R lo que haría que la fuerza fuera repulsiva, en lugar de atractiva, como lo es la gravedad hasta ahora.

g(r)=−∇ψ(r)g(r)=−∇ψ(r)\mathbf{g}(\mathbf{r})=-\boldsymbol{\nabla}\psi(\mathbf r): buscando un error de signo menos
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