Derivación de la energía potencial efectiva del Lagrangiano de un sistema de dos cuerpos [duplicado]

Question

Derivación de la energía potencial efectiva del Lagrangiano de un sistema de dos cuerpos [duplicado]

Roberto Quirey

Tengo algunos problemas para entender cómo la energía potencial efectiva de un sistema de dos cuerpos se deriva del Lagrangiano del sistema. Específicamente mi problema es con un paso...

Supongamos que estamos analizando el sistema en el marco del centro de masa con una masa reducida $\mu$ , separación radial $r$ y velocidad angular $\dot{\phi}$ . Entonces el lagrangiano se puede expresar como:

L = \frac{1}{2} m ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{ϕ}}^{2}) - tu (r)

$\mathscr{L}= \frac{1}{2}\mu(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)-U(r)$ Entiendo que

ϕ

$\phi$ es una coordenada cíclica, ya que

\frac{\partial L}{\partial ϕ} = 0

$\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \phi}=0$ , y por lo tanto el momento angular

l

$l$ se conserva Desde

l = μ r^{2} \dot{ϕ}

$l=\mu r^2 \dot{\phi}$ , podemos usar esto para sustituir

\dot{ϕ}

$\dot{\phi}$ y hacer el lagrangiano unidimensional.

Mi problema es este: si sustituimos en el $\dot{\phi}$ antes de usar la ecuación de Euler-Lagrange para derivar la ecuación de movimiento, obtenemos un resultado incorrecto. ¡Hay un signo menos donde no debería haberlo!

\begin{aligned} L & = \frac{1}{2} m {\dot{r}}^{2} + \frac{1}{2} m r^{2} (\frac{yo}{m r^{2}})^{2} - tu (r) \\ = \frac{1}{2} m {\dot{r}}^{2} + \frac{{yo}^{2}}{2 m r^{2}} - tu (r) \Rightarrow {tu}_{mi F F} (r) = tu (r) - \frac{{yo}^{2}}{2 m r^{2}} \end{aligned} \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = \frac{\partial L}{\partial r} \Rightarrow m \ddot{r} = - \frac{{yo}^{2}}{m r^{3}} - {tu}^{'} (r)

$\begin{align} \mathscr{L} &= \frac{1}{2}\mu\dot{r}^2+\frac{1}{2}\mu r^2 \biggl(\frac{l}{\mu r^2}\biggr)^2-U(r) \\ &= \frac{1}{2}\mu\dot{r}^2+\frac{l^2}{2\mu r^2}-U(r) \ \Rightarrow \ U_{eff}(r) = U(r) - \frac{l^2}{2\mu r^2} \end{align}\\ \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{r}}=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial r} \ \Rightarrow\ \ \mu\ddot{r}=\color{red}{-}\frac{l^2}{\mu r^3}-U'(r)$ Mientras que si invertimos el orden de estos pasos, obtenemos el resultado correcto.

L = \frac{1}{2} m {\dot{r}}^{2} + \frac{1}{2} m r^{2} {\dot{ϕ}}^{2} - tu (r) \begin{aligned} \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = \frac{\partial L}{\partial r} \Rightarrow m \ddot{r} & = m r {\dot{ϕ}}^{2} - {tu}^{'} (r) \\ = m r (\frac{yo}{m r^{2}})^{2} - {tu}^{'} (r) \\ = \frac{{yo}^{2}}{m r^{3}} - {tu}^{'} (r) \end{aligned}

$\mathscr{L}= \frac{1}{2}\mu\dot{r}^2+\frac{1}{2}\mu r^2\dot{\phi}^2-U(r) \\ \begin{align}\frac{d}{dt} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{r}}=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial r} \Rightarrow\mu\ddot{r} &= \mu r \dot{\phi}^2 -U'(r)\\ &= \mu r \biggl(\frac{l}{\mu r^2}\biggr)^2 -U'(r)\\ &= \frac{l^2}{\mu r^3} -U'(r)\\ \end{align}$ ¿Que está pasando aqui? ¿Por qué importa el orden de estas operaciones y qué significa esto físicamente?

PUBLICADO:

En respuesta a ser marcado como un duplicado de: Lagrangiano de un potencial efectivo . No entendí completamente la respuesta a esta pregunta, ya que está más allá del alcance de lo que he aprendido (como estudiante de segundo año).

En cuanto a: ¿ Cómo se puede resolver esta "paradoja"? Potencial central , el título no es muy descriptivo de lo que se pregunta, por lo que no encontré esta publicación. Sin embargo, la respuesta aceptada es muy sucinta y se da con una teoría menos avanzada. ¡Gracias por traerlo a mi atención!

Roberto Quirey

@Sergio Ahhh interesante, entonces la noción de potenciales efectivos no se puede obtener puramente del Lagrangiano... ¡Gracias por tu publicación!

Roberto Quirey

@VladimirKalitvianski No me perdí el letrero, ¡está en rojo! :^)

qmecanico

Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/262183/2451 , physics.stackexchange.com/q/83190/2451 y enlaces allí.

Respuestas (2)

Derivación de la energía potencial efectiva del Lagrangiano de un sistema de dos cuerpos [duplicado]

@Sergio Ahhh interesante, entonces la noción de potenciales efectivos no se puede obtener puramente del Lagrangiano... ¡Gracias por tu publicación!
@VladimirKalitvianski No me perdí el letrero, ¡está en rojo! :^)
Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/262183/2451 , physics.stackexchange.com/q/83190/2451 y enlaces allí.

Kirtpole · Answer 1

Esto se debe a cómo se definen las derivadas parciales. Cuando considera la derivada parcial con respecto a r, no tiene que considerar la regla de la cadena en $\phi_{(r)}$ . Esto se debe a que consideras r y $\phi$ como coordenadas independientes del sistema. No aplica la regla de la cadena a coordenadas independientes.

Intenta aplicar la regla de la cadena a $\frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{1}{2} \mu r^2 \dot{\phi}_{(r)}^2 \right)$ con $\dot{\phi}=\frac{l}{\mu r^2}$ y verás que llegarás a la misma respuesta equivocada.

Interesante... lo hubiera pensado porque podemos definir $\dot{\phi}$ como una función de $r$ que se aplicaría la regla de la cadena. Supongo que la independencia de cada variable debe jugar un papel clave aquí... ¡Gracias por tu respuesta!
¡Ningún problema! Vea la edición que hice y convénzase de que este es el caso si lo desea. Es un poco raro pero tiene sentido porque si no consideras r y $\phi$ para ser independientes entre sí, entonces estás trabajando con un Lagrangiano diferente con solo un grado de libertad
¡Ah, ya veo! Entonces, dado que el lagrangiano se define con dos grados de libertad, esa independencia debe mantenerse en las variables y, por lo tanto, $\dot{\phi}$ no puede considerarse una "función" de $r$ en ese sentido, aunque están relacionados por $\dot{\phi} = \frac{l^2}{\mu r^2}$ .
Por lo tanto, es una forma incorrecta de "simplificar" un Lagrangiano de dos variables a un "Lagrangiano de una variable". Las ecuaciones de movimiento van primero, las Lagrangianas van después.
Exactamente. Lea acerca de las Transformaciones de Legendre si desea una comprensión más profunda de cómo se comportan entre sí las derivadas y las variables independientes.

francesco bernardini · Answer 2

Las ecuaciones de Lagrange son un conjunto independiente de ecuaciones, que se obtiene derivando el Lagrangiano de una manera particular;

Para que las diferentes ecuaciones sean consistentes entre sí, la función de la que parte al derivar debe ser la misma para cada ecuación.

Lo que hiciste fue básicamente conectar el resultado de la primera ecuación de movimiento (la que está en $\phi$ ) en el Lagrangiano antes de calcular la segunda ecuación de movimiento (la que está en $r$ ), modificándolo de facto añadiendo más componentes en $r$ , que de otro modo no habría tomado parte en la derivación, y que obviamente alteró el resultado final;

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qmecanico

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