Densidad lagrangiana para la electrodinámica clásica en la materia

No he podido encontrar ninguna referencia para la densidad lagrangiana en presencia de materia. Es mucho más fácil encontrar estas expresiones en el vacío, pero, cuando se trata de la materia, no pude encontrar ninguna información clara. Quiero decir, cuando nos referimos a estas ecuaciones:

$$\begin{cases} \nabla \cdot \mathbf{E}=\large{\frac{\rho}{\epsilon_0}} \\ \\ \nabla \cdot \mathbf{B}=0 \\ \\ \nabla \times \mathbf{E}=-\large{\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}} \\ \\ \nabla \times \mathbf{B}=\mu_0 \mathbf{J}+\large{\frac{1}{c^2}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}} \end{cases}$$

Sé que la densidad lagrangiana asociada es:

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4\mu_0} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}-J_{\mu}A^{\mu}$$

Sin embargo, estaba buscando cómo se escribirían estas otras ecuaciones en términos de la formulación lagrangiana:

$$\begin{cases} \nabla \cdot \mathbf{D}=\rho \\ \\ \nabla \cdot \mathbf{B}=0 \\ \\ \nabla \times \mathbf{E}=-\large{\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}} \\ \\ \nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{J}+\large{\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}} \end{cases}$$

Y lo único que tengo, es el enlace que dejo a continuación:

https://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_formulation_of_classical_electromagnetism#Matter

Dice: "Separando las corrientes libres de las corrientes ligadas, otra forma de escribir la densidad lagrangiana es la siguiente":

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4\mu_0} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}-J_{\mu}A^{\mu}+\frac{1}{2} F_{\mu \nu}\mathcal{M^{\mu \nu}}$$

Dónde$\mathcal{M^{\mu \nu}}$es el tensor de magnetización-polarización.

Sin embargo, en este enlace no se explica por qué el término correspondiente a las corrientes ligadas es así, y no he encontrado por ningún lado información que aclare mis dudas.

Entonces, mi pregunta es: ¿Por qué el término correspondiente a las corrientes ligadas es como es?