Formulación de Hamilton y coordenadas independientes

En formulación lagrangiana,$q$y$\dot{q}$son coordenadas (independientes) y la última se convierte en la derivada temporal de la primera justo en las curvas que resuelven las ecuaciones de movimiento. De hecho, las ecuaciones de Euler-Lagrange dicen

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L(t, q(t), \dot{q}(t))}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L(t,q(t), \dot{q}(t))}{\partial q}=0\:, \quad \frac{dq}{dt}= \dot{q}(t)\:.$$

En la formulación hamiltoniana,$q$y$p$son las coordenadas (independientes) y las ecuaciones de Hamilton se leen

$$\frac{dp}{dt}= - \frac{\partial H(t,q(t),p(t))}{\partial q}\:, \quad \frac{dq}{dt}= \frac{\partial H(t,q(t),p(t))}{\partial p}\:.$$

Aquí$\dot{q}$y$\dot{p}$no son coordenadas definidas, por lo que la pregunta no tiene mucho sentido.

Suponemos que OP ya entiende por qué$q$y$\dot{q}$son variables independientes en el lagrangiano$L(q,\dot{q},t)$(que fue el tema de esta publicación Phys.SE), y saltar directamente al formalismo hamiltoniano.

La respuesta corta es que el hamiltoniano$H(q,p,t)$solo depende de las variables del espacio de fase$q$,$p$, y tiempo$t$. No se supone que dependa de derivadas temporales.

$$\dot{q}, \dot{p}, \ddot{q}, \ddot{p},\ldots .$$

Si el hamiltoniano$H(q,p,t)$depende de las derivadas temporales, lo más probable es que algo salió mal durante la transformación de Legendre a partir de la formulación lagrangiana original.

Por cierto, para un Lagrangiano$L(q,\dot{q},\ddot{q},\ldots,t)$con derivadas temporales más altas, uno puede preguntarse cómo la formulación hamiltoniana correspondiente evita las derivadas temporales. Bueno, Ostrogradsky nos dijo cómo: ¡introducir más pares canónicos!