¿Por qué la cancelación de puntos ∂r˙i∂q˙j=∂ri∂qj∂r˙i∂q˙j=∂ri∂qj\frac{\partial \dot{\mathbf{r}}_i}{\partial \dot{q}_j} = \frac{\parcial \mathbf{r}_i}{\parcial q_j} trabajo?

Su pregunta es muy similar a una pregunta que hice anteriormente en Physics.SE. si entiendes como

$$\mathbf{v}_i \equiv \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_i}{\mathrm{d}t} = \sum_k \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_k}\dot{q}_k + \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial t}$$

se obtiene, es relativamente fácil a partir de ahí. Claramente$\mathbf{v}_i$es una función de$q_k$,$\dot{q_k}$y$t$. Entonces puedo escribir:

$$\mathbf{v}_i \equiv \mathbf{v}_i(q_k, \dot{q_k}, t)$$

Si tuviera que tratar$q_k$y$\dot{q_k}$como variables independientes, resulta que obtengo algunas expresiones muy bonitas. Así que procediendo con$q_k$y$\dot{q_k}$como variables independientes, si tuviera que diferenciar$\mathbf{v}_i$bien$\dot{q_j}$, obtendría:

$$\frac{\partial\mathbf{v}_i}{\partial\dot{q_j}} = \sum_k \frac{\partial^2\mathbf{r}_i}{\partial\dot{q_j}\partial q_k}\dot{q_k}+\sum_k\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_k}\frac{\partial\dot{q}_k}{\partial \dot{q_j}} + \frac{\partial^2\mathbf{r}_i}{\partial\dot{q_j}\partial t}$$

Dado que se puede cambiar el orden de las derivadas parciales en el primer y tercer término, esto se convierte en:

$$\frac{\partial\mathbf{v}_i}{\partial\dot{q_j}} = \sum_k \frac{\partial}{\partial q_k}\left(\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial\dot{q_j}}\right)\dot{q_k}+\sum_k\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_k}\frac{\partial\dot{q}_k}{\partial \dot{q_j}} + \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial\dot{q_j}}\right)$$

Pero$\mathbf{r}_i \equiv \mathbf{r}_i(q_k,t)$no depende explícitamente de$\dot{q_k}$. Así, el primer y último término se reducen a cero. Y el único término distinto de cero en la segunda suma sería cuando$k=j$. Por lo tanto,

$$\frac{\partial\mathbf{v}_i}{\partial\dot{q_j}} = \frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_j}$$

El quid del problema radica en las variables que eliges como independientes.

Las coordenadas en el espacio de configuración son$r_i$, y en el espacio posición-velocidad son$r_i,v_i$. La transformación hace que las nuevas coordenadas$q_i,\dot{q}_i$, y de la regla de la cadena

$$\dot{q}_i = {\partial q_i \over \partial r_i } v_i$$

Las cantidades${\partial \dot{q}_i \over \partial v_j}$en la notación del texto significa lo siguiente: si fijo la posición y cambio la velocidad, ¿cómo cambia la velocidad transformada en el$q$cambio de coordenadas? La respuesta es la transformación lineal dada por la regla de la cadena anterior --- es por${\partial q_i \over \partial r_i}$. Si fija la posición y cambia la velocidad según lo parametrizado por$\dot{q}_i$, el cambio en la velocidad en las coordenadas v es por la matriz inversa de la transformación lineal, o${\partial r_i \over \partial q_i}$.

No importa que sea una velocidad, puede ser cualquier desplazamiento infinitesimal de la partícula, la ley de transformación es siempre por la matriz jacobiana del mapa entre las coordenadas. Esto es tan claro, que sería mejor no escribir nunca${\partial v_i\over \partial\dot{q}_i}$en el texto, solo tenga un símbolo, porque solo hay un mapa y solo una matriz jacobiana.