Primera integral de una ecuación de movimiento: μr¨=−kr2μr¨=−kr2\mu\ddot r=-\frac{k}{r^2}

Question

joebevo

Tengo una ecuación de movimiento (EOM), que es

m \ddot{r} = - \frac{k}{r^{2}}

$\mu\ddot r=-\frac{k}{r^2}$

¿Cómo encuentro la primera integral de esta EOM? Agradecería si alguien pudiera mostrarme los pasos a seguir. debería conseguir

\frac{1}{2} m {\dot{r}}^{2} = - k (\frac{1}{R} - \frac{1}{r})

$\frac{1}{2}\mu\dot r^2=-k \left( \frac{1}{R}-\frac{1}{r} \right)$

pero no estoy seguro de cómo proceder.

ajmeteli · Answer 1

Multiplica los lados izquierdo y derecho de la ecuación por $\dot r$ , y habrá diferenciales completos en ambos lados.

uno puede ponerlo en un entorno más físico. La primera integral es energía, por lo que necesita obtener la conservación de energía de la segunda ley de Newton. Para hacerlo, multiplicas ambos lados por $\dot r$ obtener la potencia producida por la fuerza. La integración de las ecuaciones resultantes da que la energía se conserva.

Santosh Linkha · Answer 2

Dejar $\dot{r}$ ser $p$

\frac{d^{2} r}{d t^{2}} = \frac{d pag}{d t} = \frac{d pag}{d r} \times \frac{d r}{d t} = pag \frac{d pag}{d r} (1)

${d^2 r \over dt^2} = {dp \over dt } = {dp \over dr}\times {dr \over dt} = p {dp \over dr} \hspace{2 cm} (1)$

Entonces nosotros tenemos

m pag \frac{d pag}{d r} = - \frac{k}{r^{2}}

$\mu p {dp \over dr} = {-\frac{k}{r^2}}$

m \int pag d pag = - k \int \frac{d r}{r^{2}}

$\mu \int p \, dp = - k \int {dr \over r^2}$

m \frac{{pag}^{2}}{2} = \frac{k}{r} + C (2)

$\mu {p^2 \over 2} = {k \over r} + C \hspace{2 cm} (2)$ Asumiendo

\dot{r} (0) = 0

$\large \dot{r}(0) = 0$ cuando

r = R

$r = R$ , usted obtiene

C = - \frac{k}{R} (3)

$C = - {k \over R} \hspace{2 cm} (3)$ Por lo tanto de

(2)

$(2)$ y

(3)

$(3)$ , tenemos

m \frac{{\dot{r}}^{2}}{2} = - k [\frac{1}{R} - \frac{1}{r}]

$\mu {\dot{r}^2 \over 2} = -k \left [ {1 \over R}- {1 \over r}\right ]$