Problema de rebote de la pelota SMBC

Question

Problema de rebote de la pelota SMBC

redd.it

Esto proviene de un cómic de Saturday Morning Breakfast Cereal (SMBC) con una respuesta de broma. El problema dice:

Una pelota de 5 kilogramos se lanza directamente a la derecha a 20 metros por segundo desde una altura de 10 metros. La pelota pierde 1 julio cada vez que toca la Tierra. Suponga que no hay resistencia del aire. ¿Cuándo deja de rebotar la pelota?

¿Cómo se resolvería este problema? Lo mejor que pude hacer fue suponer que la energía total de la pelota, dada por la suma de la energía potencial y cinética cuando se dispara inicialmente, se pierde por completo cuando deja de rebotar. Esto nos daría aproximadamente 1490 rebotes, con cada rebote ralentizando la pelota y haciéndola rebotar ligeramente más abajo.

Esto todavía requiere una tonelada de cálculo (una gran serie), incluso con la suposición adicional de que no hay fricción entre la pelota y el suelo. ¿Me estoy perdiendo de algo?

Respuestas (5)

Problema de rebote de la pelota SMBC

jeremy · Answer 1

Si se supone que la cantidad de movimiento se pierde en ambas direcciones, ya que la energía cinética es no direccional, tal vez sea mejor suponer que se pierde energía en cada "dirección" proporcionalmente al seno y al coseno del ángulo de rebote. Usando esta suposición, cada rebote hace que pierda 2/3 J de la velocidad horizontal y 1/3 de la energía potencial vertical. Bajo esta suposición, hay 1491 rebotes, cada uno linealmente más pequeño que el anterior, llegando finalmente a aproximadamente 250 km de distancia.

Es posible que desee pensar en "aproximadamente 250 km de distancia". Si la velocidad inicial era de 20 m/s, en 1500 segundos recorrería como máximo 30 km.
@Floris tiene toda la razón. Además, este problema es totalmente factible.

Kyle Omán · Answer 2

Los comentarios a la respuesta de @udiboy señalan que este problema está un poco mal planteado (lo cual, para una tira cómica, está bien, supongo). Parece haber algún argumento anterior sobre si la fricción se puede despreciar (observo que la pregunta NO dice que se descuide la fricción) y si la energía potencial gravitacional se puede agotar sin tocar el componente horizontal del impulso.

Siendo realistas, la pelota probablemente pierde un poco de velocidad y altura con cada rebote, y el proceso es imposible de calcular sin más información sobre la interacción entre la bola y el suelo. Pero aún podemos obtener una restricción en el tiempo.

Veo dos casos límite aquí:

1) El impulso horizontal no se ve afectado por los rebotes (¿tal vez la pelota no tiene fricción pero es "pegajosa"?). La pelota rebota a una altura ligeramente inferior después de cada rebote, y termina deslizándose horizontalmente por el suelo con la misma velocidad horizontal que tenía inicialmente hasta el final de los tiempos. udiboy resolvió esto en su respuesta, así que descaradamente robaré su resultado y lo llamaré el tiempo mínimo hasta que se detenga el rebote:

T_{metro i norte} = \sqrt{\frac{h_{i}}{gramo}} + \sum_{1}^{norte} \sqrt{\frac{2}{gramo} \frac{{mi}_{i} - norte}{metro gramo}}

$T_\mathrm{min} = \sqrt{\frac{h_i}{g}} + \sum_1^n \sqrt{\frac{2}{g}\frac{E_i-n}{mg}}$

2) La pelota pierde impulso horizontal con cada rebote, pero rebota a la misma altura cada vez, hasta que se queda sin impulso horizontal. Luego va perdiendo altura con cada rebote, hasta quedar fuera de altura, y termina en reposo. Esto no es muy realista, pero es un límite superior en el tiempo:

T_{metro a X} = T_{metro i norte} + \sqrt{\frac{h_{i}}{2 gramo}} metro v_{i}^{2}

$T_\mathrm{max} = T_\mathrm{min} + \sqrt{\frac{h_i}{2g}}mv_i^2$

Tomando $g$ ser $10\textrm{ms}^{-2}$ da (siempre que no me haya equivocado al calcular la suma):

T_{metro i norte} = 472 s

$T_\mathrm{min} = 472\mathrm{s}$

T_{metro a X} = 1886 s

$T_\mathrm{max} = 1886\mathrm{s}$

Ok, entonces no dije que iba a ser una buena restricción. Pero es mejor de lo que estoy acostumbrado a recibir (ah, las alegrías de la astronomía).

¿Por qué el ángulo de incidencia no sería el ángulo de reflexión? Es una partícula puntual. Mira mi respuesta .

nigel · Answer 3

¿Cuándo deja de rebotar la pelota?

Usando cinemática significa que la altura ( $d_y$ ) va a cero y la velocidad vertical ( $v_y$ ) tiende a cero, pero la velocidad horizontal ( $v_x$ ) sería constante si la fricción y la resistencia del aire fueran despreciables, ya que continuaría deslizándose después de que se detuviera el rebote. Entonces podrías resolver para cuándo $d_y$ = 0 o $v_y$ = 0.

Usando la conservación de la energía, la energía potencial ( $PE_i$ ) es igual a la energía cinética ( $KE_i$ ), menos 1,0 J perdidos en cada colisión inelástica. Dado que no hay fuerza en la dirección horizontal (fricción y resistencia del aire insignificantes), supondré que la energía disipada en los rebotes solo se basa en la energía en la dirección vertical, que podría ser el trabajo debido a la gravedad (suponiendo que no hay energía). se pierde debido a la deformación del material). Utilizando la energía mecánica vertical ( $E_y$ ) como la energía potencial inicial nos da:

{mi}_{y} = PAG {mi}_{i} = metro gramo h = (5) (9.81) (10) = 490.5 j

$E_y = PE_i = mgh \\ = (5)(9.81)(10) \\ = 490.5\ \ J$

Cuando la pelota deja de rebotar, la energía mecánica vertical ( $E_y$ ) es igual a la suma de la energía perdida en cada rebote ( $E_{bounce}$ ), sea n el número de rebotes:

{mi}_{y} = \sum {mi}_{b o tu norte C mi} 490.5 j = (1.0 j) norte norte = 490.5 b o tu norte C mi s

$E_y = \sum E_{bounce} \\ 490.5\ J = (1.0\ J)n \\ n = 490.5\ \rm{bounces}$

Entonces, la pelota deja de rebotar después de 490,5 rebotes, que en realidad es después de 490 rebotes. (No tengo tiempo para resolver para t ).

EDITAR , 15 de julio: es probable que la gravedad no sea disipativa (al igual que la gravedad proporciona una fuerza restauradora en un péndulo). Por lo tanto, la energía debe deberse a la deformación del material, lo que no permitiría que se descomponga en componentes xey como se muestra arriba.

Entonces, la energía mecánica total debe calcularse como la suma de las energías potencial y cinética y establecerse igual a la suma de la energía disipada en los rebotes.

{mi}_{T} = metro gramo h + \frac{1}{2} metro v^{2} = \sum {mi}_{b o tu norte C mi} (5) (9.81) (10) + \frac{1}{2} (5) (20)^{2} = (1.0 j) norte norte = 1490.5 b o tu norte C mi s

$E_T = mgh + \frac{1}{2}mv^2 = \sum E_{bounce} \\ \\ (5)(9.81)(10) + \frac{1}{2}(5)(20)^2 = (1.0\ J)n \\ \\ n = 1490.5\ \rm{bounces}$

Suponiendo que no haya fricción ni resistencia, y redondeando hacia arriba, la pelota rebotaría 1491 veces antes de detenerse.

Después de 490 rebotes la pelota quedará con $0.5J$ de energía, ¿adónde irá eso?
@udiboy: sí, debe redondear hacia arriba en lugar de redondear hacia abajo en esta aproximación: va de 0,5 J a cero con el último rebote.
Cuándo es una medida de tiempo. Esta respuesta no responde a la pregunta.

udiboy1209 · Answer 4

Si suponemos que no hay fricción , no hay fuerza en la dirección horizontal, por lo que la bola continuará moviéndose indefinidamente hacia la derecha. Podemos considerar que deja de rebotar cuando no tiene velocidad vertical. Como las fuerzas están completamente en la dirección vertical, no hay pérdida de energía de la energía cinética en la dirección horizontal. Así, ese 1 Joule disipado será de la energía potencial. PE está dado por

Δ PAG = metro gramo h = 500 j

$\Delta P=mgh=500 J$ .

Entonces podemos decir que rebotará quinientas veces.
Después del primer rebote, el PE se convertirá en $\Delta P=499 J$ y la altura correspondiente a este PE será

Δ PAG = metro gramo h_{1}

$\Delta P=mgh_1$

∴ h_{1} = \frac{Δ PAG}{metro gramo} = \frac{499}{50} metro

$\therefore h_1=\frac{\Delta P}{mg}=\frac {499}{50}m$ Esto significa que después del primer bote la pelota sube a una altura de

\frac{499}{50} m

$\frac{499}{50}m$ . Del mismo modo, después de la

n^{t h}

$n^{th}$ rebotar

h_{norte} = \frac{500 - norte}{50}

$h_n=\frac {500-n}{50}$

El tiempo que tarda una pelota en llegar a una altura de $h$ y regresa bajo la fuerza de la gravedad está dada por

t = \sqrt{\frac{2 h}{gramo}}

$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$ Por lo tanto, el tiempo tomado desde el

n^{t h}

$n^{th}$ rebotar a la

{n + 1}^{t h}

${n+1}^{th}$ rebote es

t_{norte} = \sqrt{\frac{2 h_{norte}}{gramo}}

$t_n=\sqrt{\frac{2h_n}{g}}$

Entonces, una suma de esto debería darte la respuesta.

T_{t o t a yo} = \sum_{1}^{norte} t_{norte}

$T_{total}=\sum_1^n t_n$

Tenga en cuenta que hemos comenzado a sumar desde después del primer rebote. También tendremos que sumar el tiempo inicial que tarda en caer, que viene dado por

t_{0} = \sqrt{\frac{h_{i norte i t i a yo}}{gramo}}

$t_0=\sqrt{\frac{h_{initial}}{g}}$

El problema de considerar la fricción: ahora hay una fuerza en la dirección horizontal, por lo que hará trabajo cada vez que la pelota rebote. Para encontrar el tiempo, tendremos que averiguar exactamente qué parte del $1 Joule$ se disipa por fricción y colisión inelástica. Esto se vuelve realmente complejo. no se como hacerlo

Dado que en el problema original se pierde energía con cada rebote, la colisión es inelástica por definición. Si se pierde energía, no se puede ignorar la componente horizontal, es decir: ¿cómo se disipa la energía solo en la dirección vertical? Esta suposición no puede ser correcta.
Supongo que no hay fricción porque la presencia de fricción haría que la pelota comenzara a rodar, impartiendo un momento angular a la pelota. Debido a que no se dio el momento de inercia de la pelota, esto haría imposible resolver el problema.
Creo que esta pregunta no está bien definida, ya que si la velocidad vertical fuera cero después de que N rebota, entonces la velocidad horizontal seguiría siendo igual a la velocidad inicial. Y como asumiste que no hay fricción en la dirección horizontal, la pelota seguirá deslizándose en la dirección horizontal. Sin embargo, la pregunta indicó que la pelota perderá energía cada vez que toque la Tierra, así también cuando se deslice sobre ella. Creo que sería más seguro asumir que la velocidad horizontal y vertical después de un rebote se reducirán por el mismo factor: $\sqrt{1-\frac{2E}{m(u^2+v^2)}}$ .
@ redd.it, no hay fuerza en la horizontal para hacer trabajo y disipar energía (porque asumo que la fricción es cero).
@fibonatic, estoy de acuerdo contigo, la pregunta debería especificar exactamente qué fuerzas están involucradas, o al menos hacerlo deducible de algunos datos. En cuanto a la suposición de que la velocidad se reduce por el mismo factor, el cambio en la velocidad vertical corresponde al impulso $Ndt$ mientras que el cambio de velocidad horizontal correspondería al impulso $\mu Ndt$ . ¿Cómo podemos suponer que cambian por el mismo factor?
@udiboy Cuando la pelota toca el suelo, la energía se disipa, no necesariamente debido a la fricción. Podría ser sonido o calor por lo que nos importa, pero no existe un dispositivo mágico para que la pelota pierda solo "energía vertical". La energía es una cantidad escalar.
@ redd.it, por lo que podría decir que ambas suposiciones no serían correctas y, por lo tanto, esta pregunta no está bien definida. Sin embargo, si tomara una de las dos suposiciones e intentara encontrar una respuesta, no sabría cómo podría calcularla a mano. Ya que lo probé a calcular usando Matlab con un while-loop, ya que continuaba mientras el factor sería real (la termia que se resta de 1 es menor que 1).
@ redd.it, tal vez debería reformular: la energía cinética correspondiente al componente vertical de los cambios de velocidad por $1 joule$ y la energía cinética correspondiente a la componente horizontal permanece inalterada, simplemente porque la velocidad vertical cambia y la velocidad horizontal no. La energía total sigue disminuyendo en $1 Joule$ .
"la energía cinética correspondiente a la componente horizontal permanece inalterada" ¿ Por qué? No me digas que es porque no hay fuerza en la dirección horizontal, porque tampoco hay fuerza en la dirección vertical. (Sin contar la gravedad ya que no es responsable de la pérdida de energía)
@udiboy Entonces responda mi pregunta: ¿cómo está cambiando la velocidad vertical? O más bien, ¿qué está causando la pérdida de velocidad vertical?
Hay una fuerza normal ejercida sobre la pelota durante cada rebote. Eso es lo que invierte la velocidad de la pelota, al mismo tiempo que disminuye la magnitud. La velocidad vertical se modifica después de cada rebote, tanto en signo como en magnitud.
@udiboy Eso no cambia el hecho de que la energía perdida no puede ser solo en dirección vertical. Si la colisión fuera perfectamente elástica, estaría de acuerdo contigo: la velocidad horizontal permanecería inalterada y la pelota rebotaría hasta la misma altura y continuaría rebotando indefinidamente. Pero claramente, la colisión es inelástica y no se puede suponer que la pérdida de energía solo ocurre en una dirección. No tiene sentido.
Deberías hacer esto como otra pregunta. Tal vez alguien más pueda explicarlo mejor.
Tal vez deberíamos ceñirnos a la respuesta dada en el cómic, ya que no está del todo claro qué tipo de disminución de energía se debe usar para esta pregunta.
Cada vez que escucho la frase "energía en la dirección ___" me estremezco. ¡La energía es un escalar! ¡No confundas energía e impulso! La (no) conservación de la energía por sí sola no es suficiente para resolver este problema. También necesita saber qué está pasando con el impulso. Eso requiere comprender la dinámica del impacto en sí (¿cómo disipa el piso el impulso?), que no se especifica en la pregunta. Ergo, la pregunta está mal planteada. Período. Hecho.

usuario121330 · Answer 5

Como no conocemos el volumen de la pelota, podemos aproximarnos a ella como una partícula puntual. Se ha hecho alguna mención a la fricción entre el suelo y la pelota; todo lo que diré es que debemos ignorarla porque a) no se especifica el momento de inercia (o alguna forma de encontrarlo), y b) si el bola comenzara a girar, la fricción se volvería estática, no cinética. Todavía es un problema factible, pero necesitarías el momento de inercia.

\begin{array}{rcl} {tu}_{0} & = & \frac{metro {\dot{X}}_{0}^{2}}{2} + metro gramo h = 1490 j \\ {tu}_{norte} & = & \frac{metro {\dot{X}}_{0}^{2}}{2} + metro gramo h - norte \end{array}

$\begin{eqnarray} U_0 &=& \frac{m \dot x_0^2}{2} + m g h = 1490\text J\\ U_n &=& \frac{m \dot x_0^2}{2} + m g h - n \end{eqnarray}$

Dónde $m$ es la masa de la pelota, $v_0$ es la velocidad inicial (horizontal), $g$ es la gravedad de la superficie local (se supone que es $9.8 \frac{\text m}{ \text s}$ ), $h$ es la altura inicial, y $n$ es el número de rebotes y tiene unidades de Joules. Obviamente, debemos idear una suma sobre la energía de 1489 a 1 y agregar la duración de la primera media parábola.

Aunque la colisión no es perfectamente elástica, no puedo pensar en ninguna preferencia por un ángulo más bajo o más pronunciado después del rebote. Por cierto, ese ángulo es $35^\circ$ , y al reflexionar, la relación $\frac{\dot y_n}{\dot x_n} = \frac{\sqrt{2 g h}}{\dot x_0} = \eta \approx \frac{7}{10}$ entonces sería constante.

La duración de la $n$ el rebote es $t = \frac{2 \dot y_n}{g}$ (de la cinemática), por lo que todo lo que debemos hacer es poner $y_n$ en términos de $U_n$ . Cuando la pelota toca el suelo, solo tiene energía cinética.

\begin{array}{rcl} {tu}_{norte} & = & \frac{metro ({\dot{X}}_{norte}^{2} + {\dot{y}}_{norte}^{2})}{2} \\ {tu}_{norte} & = & \frac{metro (\frac{{\dot{y}}_{norte}^{2}}{η^{2}} + {\dot{y}}_{norte}^{2})}{2} \\ {tu}_{norte} & = & \frac{metro {\dot{y}}_{norte}^{2}}{2} (1 + \frac{1}{η^{2}}) \\ {\dot{y}}_{norte} & = & \sqrt{\frac{2 {tu}_{norte}}{metro (1 + \frac{1}{η^{2}})}} \end{array}

$\begin{eqnarray} U_n &=& \frac{m(\dot x_n^2 + \dot y_n^2)}{2} \\ U_n &=& \frac{m(\frac{\dot y_n^2}{\eta^2} + \dot y_n^2)}{2} \\ U_n &=& \frac{m\dot y_n^2}{2}\left( 1 + \frac{1}{\eta^2}\right) \\ \dot y_n &=& \sqrt{\frac{2 U_n}{m \left(1 + \frac{1}{\eta^2} \right)}} \end{eqnarray}$

Haciendo un poco de álgebra y escribiendo la suma,

t_{t o t a yo} = \sqrt{\frac{2 h}{gramo}} + \frac{2 η}{gramo} \sqrt{\frac{2}{metro (1 + η^{2})}} \sum_{norte = 1489}^{1} \sqrt{{tu}_{norte}} \approx 1471 s

$t_{total} = \sqrt{\frac{2 h}{g}} + \frac{2 \eta}{g} \sqrt{\frac{2}{m\left(1 + \eta^2\right)}} \sum_{n=1489}^1 \sqrt{U_n} \approx 1471 \text s$

Si estuviera escribiendo una prueba, la suma de raíces cuadradas es un problema formidable, pero puede evitarlo (usando el truco apócrifo de Gauss ) si pregunta por la distancia recorrida. Lo dejo como ejercicio (bastante divertido) para el lector.

Por lo general, un rebote da como resultado una pérdida de energía debido a la disipación en la pelota. Es inusual que esa disipación sea un número constante (en julios), lo que hace que el problema sea esencialmente no físico. La forma en que asigna la pérdida entre la velocidad horizontal y vertical es completamente arbitraria, porque no está dada por la pregunta y no hay una física clara para decir "tiene que ser esto". Pero si tuviera que elegir, probablemente diría que la pérdida es en la dirección vertical, en cuyo caso el número de rebotes es solo la energía cinética vertical dividida por 1J y redondeada hacia arriba.
@Floris Tienes razón en que es un problema no físico, lo que significa que realmente no podemos probar a dónde va la energía. Si estuviéramos jugando al billar, ambos estaríamos de acuerdo en que el parachoques toma la energía, no la bola blanca.
Es exactamente porque solo hay una fuerza normal que no puede cambiar la velocidad horizontal, ¡y el ángulo cambiará! Necesitas fuerza horizontal para cambiar el momento horizontal.

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