¿Un arma ejerce suficiente gravedad sobre la bala que disparó para detenerla?

¿Un arma ejerce suficiente gravedad sobre la bala que disparó para detenerla?

No.

¿La bala, dada una cantidad de tiempo lo suficientemente grande, volvería a caer en el arma?

No.

¿O hay un límite a la distancia que puede alcanzar la gravedad?

No.

Pero la velocidad de la bala excede la velocidad de escape . Consulte Wikipedia donde puede leer que la velocidad de escape a una distancia determinada se calcula mediante la fórmula

Imagina que juegas este escenario al revés. Tienes una bala y una pistola, a un trillón de años luz de distancia, inmóviles con respecto a otro. Observas y esperas, y después de un millón de años te das cuenta de que se están moviendo uno hacia el otro debido a la gravedad. (Para simplificar, diremos que el arma está inmóvil y que la bala cae hacia el arma). Después de otros millones de años, has seguido la bala hasta el arma y te das cuenta de que chocan a 0,001 m/s. Revisas tus sumas y descubres que esto es correcto, dado que si el arma fuera tan masiva como la Tierra 5.972 × 10$^{24}$kg, la bala habría chocado con él a 11,7 km/s. La velocidad de escape es la velocidad final de un cuerpo que cae y comienza a una distancia "infinita". Si lanzas un proyectil desde la Tierra con una velocidad superior a la de escape, nunca regresará.

Bien, ahora volvamos al escenario original. Disparas el arma y la bala sale a 1000 m/s. Cuando la bala está a un trillón de años luz de distancia, su velocidad se reduce a 999,999 m/s. Porque la velocidad de escape del arma es de 0,001 m/s. La gravedad del arma nunca será suficiente para detener esa bala, incluso si tuviera todo el tiempo del mundo y todo el té de China.

Como menciona Stephen Mathey en los comentarios, para cada cuerpo con masa$M$y radio$r$, hay una velocidad que uno tiene que alcanzar para escapar completamente de la gravedad del cuerpo. Esta es la velocidad de escape

Por lo general, uno aplica este concepto a los planetas (o lunas) donde$r$es el radio del planeta (luna) y la velocidad de escape es la velocidad que necesitaría un cohete (en términos de Delta-v) para escapar del planeta (luna). Aquí podría tomar la distancia desde el centro de masa del arma hasta la apertura del cañón. Mientras aún está en el cañón, la bala aún podría acelerarse debido a la expansión de los gases. Di que la distancia es$10~\mathrm{cm}$. Supongamos también que el arma pesa un kilogramo. Entonces, la velocidad de escape es tan pequeña como$37~\mu\mathrm{m}/\mathrm s$.

Entonces, sí, esa bala seguro que no va a regresar.

Para una respuesta un tanto extrema: ¿Qué tan masivo debe ser el arma para tener una velocidad de escape mayor que la velocidad de la bala? Supongo que estamos usando un 357 Magnum disparado desde un Desert Eagle, que en realidad está en el extremo bajo y medio de la escala de velocidad inicial:

fuente: http://wredlich.com/ny/2013/01/projectiles-muzzle-energy-stopping-power/

Una Desert Eagle tiene un cañón de 15 cm. Usando la fórmula provista en otras respuestas:

Completa los números:

Nota: no estoy seguro de cuán preciso es este número. Ingresé estas variables en 2 calculadoras en línea. A 1 de ellos se le ocurrió esta respuesta ( http://calculator.tutorvista.com/escape-velocity-calculator.html ), al otro se le ocurrió un número que son los mismos números, pero muchos órdenes de magnitud más pequeños:$1889.4434\ \mathrm{kg}$( https://www.easycalculation.com/physics/classical-physics/escape-velocity.php ). No estoy seguro de por qué estos 2 números son tan diferentes.

La gravedad del arma siempre ejercerá una fuerza sobre la bala. La bala seguirá desacelerándose cada vez más para siempre. La tasa de su desaceleración es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde el arma. Cuanto más lejos, más lenta es la desaceleración.

Es lógico pensar que algo que sigue desacelerándose para siempre eventualmente se detendrá. Pero eso no siempre es cierto.

A medida que la bala se ralentiza, pierde energía cinética. Esto se puede calcular como la integral de la fuerza que actúa sobre él mientras se mueve desde la distancia.$r_1$a$r_2$.

Esta pérdida de energía nunca es cero, pero su suma total está acotada. (Por una lógica similar a cómo una serie geométrica puede ser convergente). Si la energía cinética inicial fue mayor que el límite de la pérdida de energía, quedará algo sin importar cuánto tiempo haya pasado. En otras palabras, la bala disminuirá la velocidad continuamente, pero nunca caerá por debajo de cierta velocidad.

La velocidad de escape mencionada en las otras respuestas es la velocidad inicial donde la bala tiene tanta energía cinética como el límite de la energía perdida. Si esta es exactamente la velocidad inicial, entonces la bala se ralentizará y su velocidad tenderá a cero. Si la velocidad inicial es mayor, la velocidad de la bala tenderá a un valor positivo. Si la velocidad inicial es más baja, la bala perderá toda su velocidad después de un tiempo finito y comenzará a retroceder.

Suponiendo que la masa del arma ($M$) es mucho mayor que el de la bala ($m$), la fuerza neta sobre la bala es: (Desde el armazón del arma).

La igualdad se obtiene del hecho de que la aceleración es$\frac{dv}{dt}$, lo que equivale$\frac{dv}{dr}\frac{dr}{dt}$, (a través de la regla de la cadena) siendo el segundo término la velocidad.

Después de integrar esto, obtenemos:

Si asumimos que la bala se detiene a una distancia infinita (es decir, se escapa del arma y nunca regresa), su energía en ese momento sería cero.

De esto, obtenemos:

Esta es la velocidad de escape de la bala. (como han mencionado @Jonas y @Steven Mathey y @John Duffield).

Para todas las velocidades iniciales mayores que esta, la fuerza gravitatoria del arma no podría hacer retroceder la bala. Teniendo en cuenta lo pequeño que es el valor de$v_i$generalmente se compara con las velocidades promedio de bala, la bala en su mayoría escapará.

(La suposición inicial ayuda a hacer las matemáticas más fáciles, pero no es una suposición absurda. Esta suposición es el equivalente matemático de decir que el arma no se movería en absoluto debido a la fuerza ejercida por la bala sobre ella).