Caída libre en campo no uniforme

Question

Caída libre en campo no uniforme

Supersnaky2718

Imagina que soy un buceador espacial, con masa $m_1$ , 500 millas sobre la superficie de la Tierra en $x_i$ . Quiero calcular mi posición, velocidad y aceleración en función del tiempo, teniendo en cuenta el campo gravitatorio no uniforme de la Tierra y despreciando la resistencia del aire. He hecho algunos cálculos básicos y estoy confundido por la respuesta que obtengo; parece implicar que no hay aceleración en función del tiempo, si empiezo en reposo. Régimen puramente newtoniano. Aquí, me imagino que estoy cayendo puramente a lo largo del eje x:

Conservación de la energía: (Masa de la Tierra $m_2$ , masa de buzo $m_1$ )

\frac{1}{2} {metro}_{1} {\dot{X}}^{2} = \frac{GRAMO {metro}_{2} {metro}_{1}}{X}

$\frac{1}{2}m_1 \dot{x}^2 = \frac{G m_2 m_1}{x}$

Raíz cuadrada e integrando:

\int_{X_{i}}^{X (t)} X^{1 / 2} d X = \int_{0}^{t} (2 GRAMO {metro}_{2})^{1 / 2} d t

$\int_{x_i}^{x(t)} x^{1/2} dx = \int_0^t (2Gm_2)^{1/2} dt$

Esto da la solución

X (t) = (\frac{3}{2} (2 GRAMO {metro}_{2})^{1 / 2} t + X_{i}^{3 / 2})^{2 / 3}

$x(t) = ( \frac{3}{2} (2Gm_2)^{1/2} t + x_i^{3/2} )^{2/3}$

Sin embargo, mi problema con esto es que parece implicar que la velocidad escala:

\dot{X} \sim t^{- 1 / 3},

$\dot{x} \sim t^{-1/3} ,$

pero si empiezo en reposo en t = 0, ¿parece que mi velocidad no aumentará, sino que disminuirá con el tiempo? ¿Qué estoy haciendo mal aquí? ¿Hay algo malo en mi suposición de que simplemente puedo colocarme en $x_i$ con velocidad cero? Uno esperaría que la velocidad del buzo aumentara en función del tiempo y del campo gravitatorio (ya que será más fuerte a medida que me acerque a la superficie de la Tierra).

Esto debería ser sencillo, pero me estoy perdiendo algo.

Respuestas (1)

Caída libre en campo no uniforme

Diracología · Answer 1

Tu error está en tu ecuación de conservación de la energía. La forma en que lo escribiste es válida solo cuando se cae desde el infinito, desde el reposo. El correcto es:

d mi = d k + d tu = 0,

$dE=dK+dU=0,$ eso es

metro v d v = - \frac{k}{X^{2}} d X,

$mvdv=-\frac{K}{x^2}dx,$ dónde

K \equiv G m_{1} m_{2}

$K\equiv Gm_1m_2$ . integrando desde

(x_{i}, v_{i})

$(x_i,v_i)$ a

(x, v)

$(x,v)$ obtenemos

\frac{1}{2} metro (v^{2} - v_{i}^{2}) = k (\frac{1}{X} - \frac{1}{X_{i}}) .

$\frac 12m(v^2-v_i^2)=K\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x_i} \right).$ Esta es la ecuación correcta con la que tienes que empezar. Ahora

v = \frac{d X}{d t} = \pm \sqrt{v_{i}^{2} + \frac{2 k}{metro} (\frac{1}{X} - \frac{1}{X_{i}})} .

$v=\frac{dx}{dt}=\pm\sqrt{v_{i}^2+\frac{2K}{m}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x_i} \right)}.$ Asumiendo

v_{i} = 0

$v_i=0$ e integrando de nuevo desde

(t = 0, x_{i})

$(t=0,x_i)$ a

(t, x)

$(t,x)$ obtenemos

t = - \int_{X_{i}}^{X (t)} \frac{d X}{\sqrt{\frac{2 k}{metro} (\frac{1}{X} - \frac{1}{X_{i}})}},

$t=-\int_{x_i}^{x(t)}\frac{dx}{\sqrt{\frac{2K}{m}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x_i} \right)}},$ donde estoy usando el signo menos porque el eje está orientado hacia arriba. Para resolver esta integral se usa la sustitución

x = x_{i} \sin^{2} θ

$x=x_i\sin^2{\theta}$ ,

t = - \sqrt{\frac{2 metro X_{i}^{3}}{k}} \int_{\frac{π}{2}}^{θ (X)} {pecado}^{2} θ d θ,

$t=-\sqrt{\frac{2mx_i^3}{K}}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\theta(x)}\sin^2{\theta}d\theta,$ dónde

θ (x) = \arcsin \sqrt{\frac{x}{x_{i}}}

$\theta(x)=\arcsin{\sqrt{\frac{x}{x_i}}}$ . Por lo tanto,

t = \sqrt{\frac{metro X_{i}^{3}}{2 k}} [\frac{π}{2} - arcsen \sqrt{\frac{X}{X_{i}}} - \frac{1}{2} pecado (2 arcsen \sqrt{\frac{X}{X_{i}}})] .

$t=\sqrt{\frac{mx_i^3}{2K}}\left[\frac{\pi}{2}-\arcsin{\sqrt{\frac{x}{x_i}}}-\frac 12 \sin\left(2\arcsin{\sqrt{\frac{x}{x_i}}}\right)\right].$ Sin embargo, esta ecuación no se puede resolver para

x

$x$ .

Caída libre en campo no uniforme

Supersnaky2718

Respuestas (1)

Diracología

Problema de rebote de la pelota SMBC

Velocidad de escape en un ángulo

Primera integral de una ecuación de movimiento: μr¨=−kr2μr¨=−kr2\mu\ddot r=-\frac{k}{r^2}

Velocidad de un satélite en una órbita elíptica

Ecuaciones orbitales de movimiento con respecto a la energía

Masa efectiva de dos objetos

¿Cuál será la velocidad de un cometa que cae a la Tierra desde el infinito en el momento del impacto si la Tierra no tuviera atmósfera?

Fórmula de la velocidad de escape

Confundido por la gravedad y el peso [cerrado]

¿Resolver para la velocidad inicial de un proyectil dado el ángulo, la gravedad y las posiciones inicial y final?