¿Formas diferenciales o tensores para la física teórica moderna?

¡Esta es una muy buena pregunta!

Permítanme primero tratar de abordar el tema de las formas diferenciales frente a los tensores. En primer lugar, como ya mencionó Qmechanic, las formas diferenciales son un tipo especial de tensores. Sin embargo, ciertamente no todos los tensores de importancia para la física son formas diferenciales. Un ejemplo es el de los campos vectoriales, que son otro tipo de tensores. Estos aparecen en todas partes en la geometría. Solo por mencionar una, las transformaciones infinitesimales en una teoría física están representadas por campos vectoriales en su variedad de estados. Sin embargo, los tensores generales se pueden construir tomando productos tensoriales de vectores y formas 1 (que son el tipo más simple de formas diferenciales). en coordenadas$x^\mu$, los vectores están atravesados ​​por$\frac{\partial}{\partial x^\mu}$mientras que las formas 1 están abarcadas por$\text{d}x^\mu$. Ejemplos de estos tensores más generales son

• General$k$-formas $$\omega=\frac{1}{k!}\omega_{\mu_1\cdots\mu_k}\text{d}x^{\mu_1}\otimes\cdots\otimes\text{d}x^{\mu_k},$$ con$\omega_{\mu_1\cdots\mu_k}$totalmente antisimétrico. Estos son los objetos que se pueden integrar en múltiples de dimensión$k$. Un ejemplo de esto es la forma simpléctica de la mecánica hamiltoniana.
• Métrica $$g=g_{\mu\nu}\text{d}x^\mu\otimes\text{d}x^\nu,$$ con$g_{\mu\nu}$completamente simétrico. Esta no es una forma diferencial. Sin embargo, está construido a partir de formas 1. Son claves para definir espaciotiempos relativistas.
• Métrica inversa $$g^{\mu\nu}\frac{\partial}{\partial x^\mu}\otimes\frac{\partial}{\partial x^\nu},$$ con$g^{\mu\nu}g_{\nu\rho}=\delta^\mu_\rho$. De nuevo, esta no es una forma diferencial. ¡Ni siquiera está construido a partir de formas 1!

Ahora bien, en relatividad general a veces puede parecer que todo está construido a partir de formas diferenciales porque una gran clase de tensores (los tensores covariantes que son los que tienen todos sus índices hacia abajo) pueden construirse a partir de$1$-formas. En particular, una vez que tenemos una métrica, podemos escribir todos los tensores como si fueran covariantes al reducir todos los índices. Lo mismo sucede en la mecánica clásica, una vez que tenemos una forma simpléctica. Sin embargo, ciertamente, incluso en estos casos, no todos los tensores son formas diferenciales. Además, hay situaciones físicas donde uno no tiene métricas o formas simplécticas donde no todos los tensores se pueden construir a partir de formas 1 y también se necesitan campos vectoriales. Este es, por ejemplo, el caso de un espacio-tiempo newtoniano, donde no hay métrica y se requieren campos vectoriales para describir, digamos, la velocidad de una partícula.

Dejando eso de lado, en mi experiencia (que admito que es muy reducida), es cada vez más común que los físicos teóricos tengan una comprensión muy sólida de los conceptos básicos de la geometría diferencial (¡y mucho más!). Esto incluye una comprensión de los tensores en general. Creo que debido a la inmensa cantidad de aplicaciones del tema en física, ciertamente vale la pena intentar aprender el tema.

Recomendaciones:

1. Eche un vistazo a esta lista de reproducción del Prof. Frederic Schuller sobre la relatividad general . Esta serie de conferencias y la siguiente se han vuelto muy famosas. He conocido gente en todo el mundo que ha aprendido el tema viéndolos.
2. La siguiente lista de reproducción del mismo profesor es sobre geometría diferencial general . Comienza en un nivel más básico que los anteriores y se enfoca en otros temas de geometría que son de interés en áreas distintas a la relatividad general. Sin duda, es más profundo que el 1. Sin embargo, aunque está dirigido a físicos y ciertamente todos los temas tratados son muy importantes para la física moderna, el curso no cubre muchas aplicaciones. Por lo tanto, era más difícil de ver para mí. Vi 1. primero y luego, a medida que los temas aparecían en mis estudios de física, vi diferentes partes de 2. Algunos argumentarían que una comprensión moderna de la física de partículas (incluso en el nivel clásico) ya requiere todo el material en 2.
3. El libro Geometría, Topología y Física de Nakahara es un clásico en este aspecto. Sin embargo, me resultó demasiado difícil de leer al principio. Sin embargo, después de ver las conferencias anteriores, ahora lo disfruto mucho. Además, cubre muchos otros temas relevantes para la física fuera del ámbito de la geometría diferencial que son clave en la actualidad.
4. También mencionaría Una introducción a la Geometría Riemanniana: Con Aplicaciones a la Mecánica y la Relatividad de Godinho y Natário. Al igual que la referencia 1, el objetivo de este libro es la geometría de Riemann en lugar de la geometría diferencial. Sin embargo, sigue siendo una excelente introducción y los capítulos de la aplicación me parecieron muy útiles.
5. Sin embargo, creo que lo mejor que puede hacer un estudiante interesado en la geometría es explorar las referencias estándar de los matemáticos. Son los más claros y fáciles de usar en mi opinión. Cuando uno necesita inspiración sobre las aplicaciones físicas, siempre puede acudir a las referencias anteriores. Los libros de texto de matemáticas clásicos son Introducción a las variedades (lea esto primero) de Tu e Introducción a las variedades suaves de Lee. Estos dos autores han escrito otros libros de texto sobre geometría que también son muy útiles.