Interpretación Física y Geométrica de Formas Diferenciales

Tengo una duda sobre la interpretación física y geométrica de las formas diferenciales. He estado estudiando formas diferenciales en Cálculo de variedades de Spivak, pero mi verdadera intención es usar esos conceptos en física.

Me quedé muy sorprendido cuando descubrí que una fuerza se puede describir como un 1 -forma que dado un vector me da el trabajo de mover una partícula a lo largo del vector, cf. esta publicación Phys.SE. Realmente creo que hay mucho más uso para esos conceptos en Física. Por ejemplo, escribir las ecuaciones de Maxwell en una forma más general.

El problema con esos libros como Calculus on Manifolds es que todos los que he encontrado no se preocupan demasiado por la interpretación física y geométrica de esos conceptos. Por ejemplo, aunque comentan cómo encaja esto y la geometría, etc., no es el enfoque para justificar por qué las formas se relacionan con la densidad y cómo se puede usar esto para modelar cosas en física.

Lo que quiero entonces es preguntar si alguno de ustedes puede recomendar libros que expliquen cómo encajan esos conceptos en la física, cómo se pueden usar para dar descripciones precisas de los fenómenos físicos.

@Qmechanic Creo que esta pregunta es diferente y un poco más específica que los enlaces que proporcionó, porque pregunta explícita y específicamente sobre la interpretación física de las formas diferenciales. Sería bueno si la pregunta pudiera obtener una respuesta que explique las cosas directamente con buenos ejemplos o un enlace a un tutorial más corto que un libro, además de recomendar un libro. Así que me gustó más la etiqueta "solicitud de referencia" (que a menudo es mejor recibida) que la etiqueta "libro" que ahora tiene la pregunta...
Y si lo hice bien, la pregunta no se refiere solo a las formas diferenciales en la mecánica clásica, sino más en general a lo que son útiles en general en diferentes subcampos de la física, por lo que no estoy de acuerdo con que sea un duplicado. Por supuesto, también estoy interesado en una respuesta ... :-)
Una aplicación genial de formas diferenciales al generalizar la teoría de Maxwell a dimensiones más altas conduce a Branes como una generalización de partículas cargadas .
@Dilaton: tenga en cuenta que existe una precedencia larga (y a priori no trivial) sobre cómo usar los libros y la solicitud de referencia . Consulte las descripciones de sus etiquetas para obtener más información si aún no lo ha hecho. Creo que también hay algo de discusión en el meta sitio, pero no recuerdo dónde.
@Q Mechanical Supongo que fue esta pregunta y en ese entonces nadie estaba visiblemente en desacuerdo con mi respuesta diciendo que las solicitudes de referencia deberían estar bien, mientras que observé que las preguntas de libros desafortunadamente casi siempre están condenadas desde el principio en estos días ... :-/
Hay un buen libro de John Baez y sus amigos, llamado 'Gauge Fields, Knots and Gravity'. Habla sobre la teoría de Yang-Mills, temas de la teoría de Chern-Simons, la gravedad, etc., de una forma muy geométrica.
Las formas diferenciales son simplemente tensores antisimétricos; su uso hace olvidar todos los demás tipos de cantidades físicas que no pueden escribirse como tensores antisimétricos. En mi opinión, es mejor trabajar con tensores.
Después de escribir un comentario a continuación sobre el libro Harley Flanders, me acabo de dar cuenta de algo: las formas diferenciales están en el corazón de varios campos. Puede abordarlos a través de problemas matemáticos puros que involucran matrices o ecuaciones diferenciales parciales, desde la física clásica pura, desde la mecánica cuántica, ... cada vez que necesite un enfoque ligeramente diferente. Podría estar bien si especifica un poco su punto de vista y lo que quiere entender de ellos. Para mí está claro que diff. forma no son de importancia primordial para comprender la ley de Newton de las partículas puntuales, por ejemplo :-).

Respuestas (4)

Tal como están las cosas, las formas diferenciales no te cuentan toda la historia: estrictamente hablando, las formas diferenciales solo se ocupan de los covectores y los productos de cuña de los covectores y luego usan el martillo de la estrella de Hodge para poder hacer torpemente productos internos. Para mí, está demasiado alejado del cálculo vectorial que quizás ya conozcas.

En cambio, le recomiendo encarecidamente que investigue el álgebra geométrica. Todos los resultados de las formas diferenciales también se aplican al álgebra geométrica (el primero está estrictamente contenido en el último), pero la notación es mucho más familiar y el énfasis está en la interpretación geométrica en lugar de empujar símbolos abstractos. David Hestenes tiene varios libros sobre el tema. Probablemente la pieza autorizada en cuanto al uso del álgebra geométrica para resolver problemas físicos es Álgebra geométrica para físicos de Doran y Lasenby. También puede leer algunas cosas rápidamente en este sitio web , escrito por Gull, Doran y Lasenby.

Daré un resumen rápido. El álgebra geométrica tiene un producto de cuña como lo hacen las formas diferenciales, pero también te permite usar directamente un producto de punto. De hecho, combina los dos en una operación útil llamada producto geométrico , definida de la siguiente manera. Para dos vectores a , b , el producto geométrico a b es

a b = a ⋅ b + a ∧ b

El producto geométrico es asociativo (¡aunque el producto escalar no lo es!). Esto lo hace muy útil. También es invertible en el espacio euclidiano, como consecuencia de esa asociatividad. Esto hace posible la fórmula

a = a b b − 1 = ( a ⋅ b ) b − 1 + ( a ∧ b ) ⋅ b − 1

Geométricamente, esto se descompone a dentro a ∥ , b y a ⊥ , b . Hacemos hincapié en que a ∧ b denota un plano orientado , y otros productos de cuña producen volúmenes orientados y más.

Algunas aplicaciones inmediatas a la física son las siguientes:

  1. Momento angular como bivector. Esta es una de las primeras veces que "necesita" un producto cruzado, y usar el producto de cuña en su lugar produce una interpretación más clara. El bivector de momento angular es exactamente el plano en el que dos objetos se mueven uno respecto al otro. Esto también se generaliza más allá de 3d, por lo que tiene sentido hablar también de bivectores de momento angular en relatividad.
  2. Unificación de teoremas integrales (el teorema fundamental del cálculo). El cálculo geométrico (como las formas diferenciales) hace posible la unificación del teorema de la divergencia, el teorema de Stokes, etc., como un concepto básico: que la integral de una función sobre un límite es igual a la integral de la derivada sobre la región limitada por ese límite. Creo que este es un problema significativo de calidad de vida; tener que recordar un solo concepto es mucho más fácil, en mi opinión, que recordar muchos teoremas integrales separados.
  3. Relatividad sin índices ni cálculo tensorial clásico. La combinación del álgebra geométrica de los productos de puntos y cuñas hace posible todas las operaciones habituales para las que normalmente se necesita el cálculo tensorial y la notación de índices. La relatividad se puede presentar utilizando una modesta extensión de los métodos utilizados en el electromagnetismo 3d. El producto geométrico permite reducir la ecuación de Maxwell en el vacío a una ecuación (en lugar de dos para formas diferenciales): ∇ F = j . Esto enfatiza la interpretación del campo EM F como un campo bivector, un campo de planos orientados a lo largo del espacio-tiempo.
  4. Interpretación geométrica de la mecánica cuántica. Muchas de las matemáticas cuánticas se presentan como místicas o especiales para QM, pero la mayor parte es en realidad inherente a la estructura geométrica del espacio y el tiempo. El álgebra geométrica permite tratar las álgebras de Pauli y Dirac como álgebras de vectores base en el espacio 3d y 3+1d. Esto hace que la interpretación de los operadores de espín y de espín sea inherentemente geométrica.
  5. Construcción de espinores. Los espinores son cosas con las que a menudo tratamos cuánticamente, tal vez solo con el entendimiento de que deben rotarse a través de 4 π en vez de 2 π para volver a su forma original. El álgebra geométrica muestra que los espinores son la base de todas las rotaciones, incluso las del antiguo espacio tridimensional. De hecho, los espinores del espacio 3d son cuaterniones, y los espinores del espacio 2d son números complejos. GA proporciona un marco para construir espinores y manipularlos como otros objetos.

Las formas diferenciales también pueden hacer algunas de estas cosas, otras no (absolutamente no se pueden reducir las ecuaciones de Maxwell a una sola expresión). Sin embargo, cualquiera de los dos formalismos es una gran mejora con respecto a los métodos tradicionales.

"(absolutamente no puede reducir las ecuaciones de Maxwell a una sola expresión)". En ese caso, probablemente deberías estudiar algo de geometría diferencial normal en lugar de álgebra geométrica. Todas las fórmulas en el marco anterior se ven exactamente iguales. Consulte el extremo inferior de esta tabla .
@Vibert No estoy seguro de lo que quieres decir. Solo GA tiene la ∇ F = j expresión que abarca ambas columnas de la tabla. Sí, las formas pueden tener una ecuación en términos de los cuatro potenciales y en el calibre de Lorenz, pero ∇ F = j siempre es válido, independientemente del calibre.
Entiendo tu punto, pero contar el número de ecuaciones es casi una cuestión de contabilidad. Supongamos que defino el operador D : F ↦ ( d F , d ∗ F ) ≡ D ⋅ F y de manera similar j ~ ≡ ( 0 , j ) . Entonces seguramente tengo D ⋅ F = m 0 j ~ y de alguna manera he reducido la teoría de Maxwell a una ecuación en el lenguaje de las formas diferenciales. ¿Nos ha traído esto algo útil? No en mi opinión.
Por el contrario, las ecuaciones de esta forma (que utilizan ∇ en un producto geométrico, en lugar de como una divergencia o rotacional) son invertibles en el sentido de que tienen funciones de Green. En 3d, a menudo tratamos solo con la función de Green para ∇ 2 , pero GA nos permite construir una función de Green vectorial para ∇ directamente y utilizarlo como una herramienta práctica.
ESTÁ BIEN. En cualquier caso es difícil comparar formalismos. Por cierto, no quiero sonar cínico con estos métodos: si algunas personas pueden usarlos de manera eficiente, más poder tendrán.
@Muphrid Gracias por esta respuesta. Este álgebra geométrica suena realmente como cuaterniones para mí. ¿Es fácil entender la geometría diferencial a partir de ellos? ¿Cómo "encajan" o "arreglan" el uso de la estructura de grupo de Lie? Uno de los principales intereses de las formas diferenciales es que implementan fácilmente la derivada de Lie. ¿Cómo hacer eso algebraicamente? Por cierto, gracias de nuevo.
@Oaoa Hay dos enfoques básicos para la geometría diferencial. Uno implica la incrustación en un espacio plano y el uso de proyecciones en la variedad; Esto es bastante sencillo. El otro involucra el uso de solo colectores planos con campos de calibre encima de ellos; esto se ha utilizado para modelar la relatividad general y tiene la ventaja de ser completamente intrínseco. Hestenes tiene un capítulo sobre grupos de Lie en su libro Clifford Algebra to Geometric Calculus . Conjetura que todos los grupos de Lie son generados por bivectores, lo que hace que GA sea muy útil para comprender las álgebras de Lie, pero la afirmación aún no se ha probado.
@Muphhrid: una cantidad física tiene que transformarse como una representación de un grupo, pero en la expresión GA a b = a ∙ b + a ∧ b el producto escalar se transforma bajo el grupo ortogonal O(n) mientras que el producto cuña se transforma bajo el grupo lineal general GL(n,R): ¿cómo mezclar grupos de esta manera puede ser un formalismo útil en física?
@StephenBlake Parece que piensas que el producto punto es físico solo porque es invariable bajo las acciones de O ( norte ) , pero un principio general de invariancia de calibre bajo todas las reasignaciones diferenciables de posiciones reemplaza esta simetría (ver Lasenby, Doran y Gull). Los bivectores se generan a partir de vectores y se transforman de la misma manera a través del "externomorfismo": bajo un operador lineal T _ , el bivector a ∧ b está asignado a T _ ( a ∧ b ) ≡ T _ ( a ) ∧ T _ ( b ) .
@Muphrid: Su operador lineal T es una matriz GL(n,R), y el término del producto cuña a ∧ b se transforma bajo T como lo has escrito, pero el término del producto escalar a ∙ b no se transforma bajo T ∈ GRAMO L ( norte , R ) entonces el producto GA a b no tiene sentido como una cantidad física. GA soluciona esto usando solo a b cuando T está restringido a O (n), pero esto me parece inconexo. Su referencia a la invariancia de calibre no es relevante para este material básico que aparece en las primeras páginas de cualquier libro de texto de GA.
@StephenBlake No entiendo por qué los objetos deben transformarse bajo el grupo lineal general para ser físicos como afirmas. Hestenes ciertamente no ve ningún problema en definir la acción de un operador lineal en un escalar como si fuera el escalar mismo. ¿Puede señalar algo en particular en el que pensó que el producto geométrico solo se usaba junto con el grupo ortogonal?
@Muphrid: no digo que una cantidad física tenga que transformarse bajo GL (n, R) para ser física. Estoy diciendo que una cantidad física debe transformarse bajo un grupo; la dificultad con a b = a ∙ b + a ∧ b es que cada pieza en el RHS se transforma bajo un grupo diferente. Uno puede ver esto claramente cuando los textos de GA consideran la geometría proyectiva donde todas las cantidades físicas (puntos, líneas, etc.) se transforman bajo GL (n, R) para que el producto punto, que se transforma bajo O (n), no pueda aparecer. Uno encuentra que los textos de GA solo usan el producto de cuña en capítulos sobre geometría proyectiva.
@StephenBlake Esa es una deficiencia de la geometría proyectiva, no de GA. Dorst, Fontijne y Mann tienen una sección completa (11.10) dedicada a este tema en su libro, que describe cómo el producto punto de los vectores no tiene sentido en la geometría proyectiva, pero esto se debe a la incapacidad de la geometría proyectiva para ser invariante bajo traslaciones. Este problema se resuelve en geometría conforme, donde las traslaciones tienen la misma forma que las rotaciones (acción bilineal de los espinores sobre los vectores).

Realmente recomendaría el libro de Frankel , La Geometría de la Física. Se ocupa de todos los conceptos fundamentales de topología y geometría diferencial, pero da aplicaciones claras y detalladas a la mecánica clásica, electromagnetismo, GR y QM. No es demasiado formal, pero desarrolla muchas herramientas útiles utilizando formas diferenciales.

Otro libro, que es un poco más básico y es, por así decirlo, una versión ligera del libro de texto clásico de Mecánica de Arnold es Mecánica geométrica, de Richard Talman . Uno puede desarrollar una intuición geométrica y física de formas diferenciales. Aquí las aplicaciones se reducen en su mayoría a la mecánica clásica.

Por supuesto, hay otros buenos textos, pero estos son realmente buenos puntos de partida.

También estoy de acuerdo con @Muphrid, en que el álgebra geométrica debería preferirse como lenguaje para la física moderna, en lugar de las formas diferenciales. Es mucho más claro y familiar. Consulte el libro de Lasenby y Doran y también la disertación de Anthony Lewis en cosmologist.info, que tiene un capítulo que trata solo de la traducción entre formas diferenciales y álgebra geométrica.

Además, Hestenes tiene una buena sección en Clifford Algebra to Geometric Calculus sobre la relación entre las formas y el cálculo geométrico. En particular, muestra cómo GC maneja los formularios que no tienen un valor escalar de una manera más elegante.
Gracias por la referencia a la tesis de Lewis. Creo que Frankel no es el libro para empezar. Recomendaría el libro de Flanders: Formas diferenciales con aplicaciones a las Ciencias Físicas. Bien escrito, claro y barato. Muchos ejemplos también. A veces es difícil entenderlo todo, pero es bastante fácil hacer la transición de las notaciones tensoriales a las de formas diferenciales.

Puede que esto no sea exactamente lo que estás buscando, pero te voy a recomendar dos textos específicos.

Misner, Thorne y Wheeler, Gravitation , capítulos 4, 9 y finales del 14

Sólidamente en el ámbito de la física, pero tienen muchos detalles de interpretación allí.

Choquet-Bruhat y DeWitt-Morette, Análisis, variedades y física , Capítulo IV.C

Quiero decir, este texto es increíble. Todos deberíamos leerlo todo, todo el tiempo. Más matemático, pero eso es mejor en este caso. También es más aplicable que solo E/M + Gravity como MTW. Un poco viejo, pero es una buena notación para entrar.

Como una sugerencia de libro quizás "más suave", encuentro que "The Road to Realty" de Penrose es bastante bueno para obtener una descripción general de muchas interpretaciones matemáticas de la física. Además, hay ejercicios en este libro, así que aunque sientas que estás comprando una especie de libro de mesa, hay mucho para trabajar si estás dispuesto.

Interpretación Física y Geométrica de Formas Diferenciales
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