Formas de colocar 3 piezas de ajedrez para que ninguna esté en la misma columna o fila

Question

Formas de colocar 3 piezas de ajedrez para que ninguna esté en la misma columna o fila

tablero de ajedrez
Matemáticas
combinaciones
combinatoria

amigoguerrillero

¿De cuántas maneras podemos colocar $3$ piezas de ajedrez para que ninguna esté en la misma columna o fila? Las piezas de ajedrez se distinguen, por lo que podemos imaginarlas como un peón, un caballo, una torre. Un tablero de ajedrez es un $8\times 8$ red.

Entonces la respuesta correcta es $8^27^26^2$ porque tenemos $8$ opciones para la columna y $8$ para la fila para colocar la primera pieza, y $7$ opciones para la segunda pieza, y así sucesivamente.

Sin embargo, cuando intenté la pregunta, pensé que podríamos hacer $(8 C 3)\cdot (8 C 3)$ , que primero cuenta el número de formas de elegir $3$ diferentes columnas y luego $3$ diferentes filas. Sin embargo, esa respuesta parece subestimar. Entonces, ¿por qué está mal y por qué no se cuenta?

bof

Supongamos que tiene que colocar

8

$8$ piezas de ajedrez en lugar de

3

$3$ . ¿Qué número da tu método? ¿Es un recuento insuficiente? ¿Ves por qué es un conteo insuficiente?

bof

O tal vez esto es más fácil. ¿De cuántas maneras puedes colocar un peón, un caballo y una torre en un

3 \times 3

$3\times3$ tablero de ajedrez, de modo que no haya dos en la misma columna o fila?

amigoguerrillero

Sí, mi método daría 1, y creo que veo dónde está subestimando. Estoy haciendo referencia a un tablero de ajedrez aquí, y supongamos que estamos eligiendo 2 piezas en lugar de 3 (para que sea más fácil). Si queremos las posiciones A1 y H8, elegimos las columnas A y H usando

8 C 2

$8C2$ , y luego elegimos las filas 1 y 8 nuevamente usando

8 C 2

$8C2$ . Sin embargo, esto también incluye A8 y H1 como un solo sentido y, como resultado, subcuenta.

amante de las matemáticas

Cuando eliges 3 columnas diferentes y 3 filas diferentes, ahora debes elegir diferentes cuadrados de ellos para colocar tus piezas. No los estás contando.

amante de las matemáticas

@dudeguyguerilla por favor vea mi respuesta que he editado para usar su método. Espero que eso explique el conteo insuficiente.

Respuestas (1)

Formas de colocar 3 piezas de ajedrez para que ninguna esté en la misma columna o fila

Supongamos que tiene que colocar $8$ piezas de ajedrez en lugar de $3$ . ¿Qué número da tu método? ¿Es un recuento insuficiente? ¿Ves por qué es un conteo insuficiente?
O tal vez esto es más fácil. ¿De cuántas maneras puedes colocar un peón, un caballo y una torre en un $3\times3$ tablero de ajedrez, de modo que no haya dos en la misma columna o fila?
Sí, mi método daría 1, y creo que veo dónde está subestimando. Estoy haciendo referencia a un tablero de ajedrez aquí, y supongamos que estamos eligiendo 2 piezas en lugar de 3 (para que sea más fácil). Si queremos las posiciones A1 y H8, elegimos las columnas A y H usando $8C2$ , y luego elegimos las filas 1 y 8 nuevamente usando $8C2$ . Sin embargo, esto también incluye A8 y H1 como un solo sentido y, como resultado, subcuenta.
Cuando eliges 3 columnas diferentes y 3 filas diferentes, ahora debes elegir diferentes cuadrados de ellos para colocar tus piezas. No los estás contando.
@dudeguyguerilla por favor vea mi respuesta que he editado para usar su método. Espero que eso explique el conteo insuficiente.

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EDITAR:

Agregar su método y completarlo, que también funciona:

tu primero eliges $3$ filas y $3$ columnas por lo que número de formas = $(^8C_3)^2$ .

esto te da $9$ cuadrícula. Por favor, vea uno de los casos en la imagen. Ahora puedes colocar la primera pieza en cualquiera de los $9$ cuadrícula. Eso deja $4$ opciones para la siguiente pieza. El último tiene solo un lugar para ir.

Así que número total de formas = $(^8C_3)^2 \times 9 \times 4 = 112896$ .

Puede ser una forma más fácil de verlo es

De varias maneras $= 8 \times 8 + 7 \times 7 + 6 \times 6$ . Explicación -

Hay $64$ cuadrados en un tablero de ajedrez. El primero se puede colocar en cualquier lugar fuera de $64$ cuadrados - (digamos, Col1 y Row1). Una vez hecho esto, el segundo tiene que evitar los cuadrados en col1 y row1. Eso deja $64-15 = 49 = 7 \times 7$ cuadrados para el segundo.

Ahora piensa en el tercero: $2$ Las casillas a evitar serán comunes entre el primero y el segundo. Así que agrega otro $13$ cuadrados a evitar. Eso deja $36 = 6 \times 6$ cuadrícula.

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