El objetivo principal del formalismo de la tétrada es aplicar el principio de acción en la teoría general de la relatividad. Pero, ¿por qué incorporar la relatividad general con la teoría de campos de partículas con espín medio entero?
Por un lado, los campos de materia con espín entero pueden acoplarse a la gravedad a través del tensor métrico (y la conexión Levi-Civita) sin usar un vielbein (también conocido como vierbein o una tétrada en 4D).
Por otro lado, los campos de materia con espín medio entero necesitan un vielbein para interactuar con la gravedad de manera geométricamente covariante. Geométricamente, un vielbein nos proporciona un marco pseudo-ortonormal en cada punto del espacio-tiempo.
El problema es que un campo con medio espín es un espinor y, por lo tanto, tiene un índice de espinor. Para escribir un término cinético covariante para un espinor, necesitamos una derivada covariante de un espinor y, por lo tanto, una conexión de espín . También necesitamos una representación del álgebra de Clifford, es decir, matrices gamma. Además, para convertir entre índices curvos y planos en las matrices gamma, necesitamos un vielbein. Véase, por ejemplo, la ec. (1) en mi respuesta Phys.SE aquí para fórmulas explícitas.
Hay una historia similar para los campos con un espín de medio entero más alto, como, por ejemplo, un espín de Rarita-Schwinger campo.
El objetivo principal del formalismo de la tétrada es aplicar el principio de acción en la teoría general de la relatividad.
Bueno, el principio de acción en la Relatividad General no necesita el formalismo de tétrada. Este es un subproducto físico y matemático del principio de covarianza local, es decir, en la vecindad de cualquier punto del espacio-tiempo curvo se aplican las leyes de la relatividad especial. En otras palabras, para pequeñas curvaturas, a veces podemos considerar el tensor métrico como una perturbación alrededor del espacio-tiempo de Minkowski. Esto implica la posibilidad de usar espinores localmente como se explica a continuación.
Pero, ¿por qué incorporar la relatividad general con la teoría de campos de partículas con espín medio entero?
Para aprender la teoría de https://en.wikipedia.org/wiki/Supergravity , se necesitan dos pasos. La primera es "deformar" GR en una teoría semiclásica, es decir, permitir la posibilidad de que la materia en GR sea también fermiónica (a través de la "QFT clásica" normal). Para esto, se necesita emplear el principio de covarianza local para permitir el paso del espacio-tiempo curvo a las vecindades planas. De esta manera, los espinores "clásicos" (Dirac o Weyl) pueden entrar en escena y uno puede estudiar su dinámica en espaciotiempos curvos. El segundo paso es permitir la supersimetría, es decir, la posibilidad de que la simetría local de Poincaré/Lorentz permitida por la covarianza local se extienda a un álgebra de supersimetría genérica.
Hari