Formalismo de Hamilton o Hamilton-Jacobi con hamiltoniano igual a cero

Question

Formalismo de Hamilton o Hamilton-Jacobi con hamiltoniano igual a cero

K. Lindy

Tengo la función de Lagrange:

\begin{matrix} (1) & L = \sqrt{\frac{{\dot{X}}^{2} + {\dot{y}}^{2}}{- y}} . \end{matrix}

$L=\sqrt{\frac{\dot{x}^2+\dot{y}^2}{-y}}.\tag{1}$

La energía es entonces:

\begin{matrix} (2) & H = \dot{X} \frac{\partial L}{\partial \dot{X}} + \dot{y} \frac{\partial L}{\partial \dot{y}} - L = 0. \end{matrix}

$H=\dot{x}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}+\dot{y}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}-L=0.\tag{2}$ ¿Puedo aplicar de alguna manera en este caso el formalismo de Hamilton o Hamilton-Jacobi para encontrar el movimiento?

Javier

Si

H = 0

$H=0$ entonces todo es súper simple, todo es constante (solo mira las ecuaciones de Hamilton). Básicamente, ya ha resuelto la ecuación de Hamilton-Jacobi.

DanielC

¿Qué son los momentos canónicos?

K. Lindy

Bueno, pero sé que para el Lagrangiano L la solución es un movimiento a lo largo de una cicloide. Entonces, no todo es constante. ¿Cómo obtener tal solución del hamiltoniano que es cero?

Respuestas (1)

Formalismo de Hamilton o Hamilton-Jacobi con hamiltoniano igual a cero

Si $H=0$ entonces todo es súper simple, todo es constante (solo mira las ecuaciones de Hamilton). Básicamente, ya ha resuelto la ecuación de Hamilton-Jacobi.
Bueno, pero sé que para el Lagrangiano L la solución es un movimiento a lo largo de una cicloide. Entonces, no todo es constante. ¿Cómo obtener tal solución del hamiltoniano que es cero?

qmecanico · Answer 1

OP's Lagrangian (1) es la raíz cuadrada de Lagrangian para una partícula puntual relativista masiva (o equivalentemente, geodésicas) en un espacio curvo con métrica
$\begin{matrix} (1) & gramo = \frac{d X ⊙ d X + d y ⊙ d y}{- y}, y < 0 . \end{matrix}$ ${\bf g}~=~\frac{\mathrm{d}x\odot \mathrm{d}x+ \mathrm{d}y\odot \mathrm{d}y}{-y}, \qquad y~<~0 .\tag{1}$
El lagrangiano de raíz cuadrada (1) tiene invariancia de reparametrización de línea de mundo, es decir, simetría de calibre. Como resultado, la función de energía lagrangiana $h(x,y,\dot{x},\dot{y})$ [y el hamiltoniano $H(x,y,p_x,p_y)$ en el correspondiente formalismo hamiltoniano, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE] desaparece.
La forma más fácil de proceder es considerar el correspondiente Lagrangiano sin raíz cuadrada, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. Entonces, la transformación de Legendre, la teoría hamiltoniana y la de Hamilton-Jacobi son, en principio, sencillas de configurar.

DE ACUERDO. Pero mi problema es el siguiente. El Lagrangiano describe el movimiento a lo largo de la cicloide (esto se puede mostrar sobre la base de las ecuaciones de Lagrange). ¿Puedo reproducir este resultado dentro del formalismo de Hamilton-Jacobi?

Formalismo de Hamilton o Hamilton-Jacobi con hamiltoniano igual a cero

K. Lindy

Javier

DanielC

K. Lindy

Respuestas (1)

qmecanico

K. Lindy

Relación de conmutación de tiempo igual del campo electromagnético

La ecuación de Lagrange es invariante en CADA transformación de coordenadas. Las ecuaciones de Hamilton no están bajo CADA transformación del espacio de fase. ¿Por qué?

¿Puedo encontrar una función potencial de la forma habitual si el campo central contiene ttt en su magnitud?

¿Los hamiltonianos invariantes en el tiempo definen sistemas cerrados?

Independencia de coordenadas y momentos generalizados en la mecánica hamiltoniana [duplicado]

¿Cuál es la relación precisa entre una matriz Hessiana no invertible para el Lagrangiano y la presencia de una simetría de norma?

¿Para qué sirve el principio de Maupertuis?

Enfoque basado en principios para llegar al hamiltoniano geodésico H=gμνpμpνH=gμνpμpνH = g^{\mu \nu} p_\mu p_\nu?

¿Qué tan generales son los teoremas de Noether en la mecánica clásica?

¿Por qué no podemos obtener un hamiltoniano sustituyendo?