Cómo escribir una matriz de densidad genérica para un sistema multi qubit

Question

Cómo escribir una matriz de densidad genérica para un sistema multi qubit

abogado de ninguno

Estaba leyendo la perspectiva independiente del dispositivo de papel sobre la mecánica cuántica . El autor define una matriz de densidad genérica de dos qubits como

\begin{matrix} (1) & ρ = \frac{1}{4} (I \otimes I + \vec{r_{ρ}} \cdot \vec{σ} \otimes I + I \otimes \vec{s_{ρ}} \cdot \vec{σ} + \sum_{i, j = X, y, z} T_{ρ}^{i j} σ_{i} \otimes σ_{j}) . \end{matrix}

$\rho=\frac{1}{4}\left( I \otimes I + \vec{r_{\rho}} \cdot \vec{\sigma}\otimes I + I \otimes \vec{s_{\rho}} \cdot \vec{\sigma} + \sum_{i,j=x,y,z}T^{ij}_{\rho} \sigma_i \otimes \sigma_j \right) \, . \tag{1}$

¿Cómo se obtiene y cuáles son las restricciones sobre $T^{ij}_{\rho}$ ? Además, dado que tiene cierta simetría, ¿se puede escribir una matriz de densidad general de 3 qubits como

\begin{aligned} ρ = \frac{1}{8} & (I \otimes I \otimes I + \vec{r_{ρ}} \cdot \vec{σ} \otimes I \otimes I + I \otimes \vec{s_{ρ}} \cdot \vec{σ} \otimes I + I \otimes I \otimes \vec{t_{ρ}} . \vec{σ} \\ + \sum_{i, j = X, y, z} T_{ρ}^{i j} σ_{i} \otimes σ_{j} \otimes I + \sum_{i, j = X, y, z} {tu}_{ρ}^{i j} σ_{i} \otimes I \otimes σ_{j} \\ + \sum_{i, j = X, y, z} W_{ρ}^{i j} I \otimes σ_{i} \otimes σ_{j} + \sum_{i, j, k = X, y, z} X_{ρ}^{i j} σ_{i} \otimes σ_{j} \otimes σ_{k}) ? \end{aligned}

$\begin{align} \rho = \frac{1}{8} &\left( I \otimes I \otimes I + \vec{r_{\rho}} \cdot \vec{\sigma} \otimes I \otimes I + I \otimes \vec{s_{\rho}}\cdot \vec{\sigma} \otimes I + I \otimes I \otimes \vec{t_{\rho}}.\vec{\sigma} \right. \\ &+ \sum_{i,j=x,y,z}T^{ij}_{\rho} \sigma_i \otimes \sigma_j \otimes I + \sum_{i,j=x,y,z}U^{ij}_{\rho} \sigma_i \otimes I \otimes \sigma_j \\ &\left. + \sum_{i,j=x,y,z}W^{ij}_{\rho} I \otimes \sigma_i \otimes \sigma_j +\sum_{i,j,k=x,y,z}X^{ij}_{\rho} \sigma_i \otimes \sigma_j \otimes \sigma_k \right) ? \end{align}$ Aquí

\vec{r_{ρ}}, \vec{s_{ρ}}, a n d \vec{t_{ρ}}

$\vec{r_{\rho}}, \vec{s_{\rho}}, and \vec{t_{\rho}}$ son vectores tridimensionales con componentes reales y cada uno con magnitud

\leq 1

$\le 1$ .

EDITAR:

Obtengo el hecho de que el tensor de matrices de Pauli actúa como base pero no puedo cumplir la condición $T_{ij}$ . Pude trabajar hacia atrás para ver que $T_{\rho}^tT_{\rho}$ tiene que ser tal que su valor propio máximo sea $\le 1$ de modo que la desigualdad CHSH solo se viola al máximo hasta $2\sqrt{2}$ . Entonces, si esta condición no se cumple, entonces $(1)$ no debe ser una matriz de densidad válida. La forma dada en $(1)$ ya es hermitiano y tiene rastro 1. Así que para $T_{\rho}^tT_{\rho}$ que tiene un valor propio máximo $\ge1$ $(1)$ Puede que no sea un operador positivo, pero no puedo probarlo.

Norberto Schuch

¿Cuál es tu pregunta? las condiciones en

T

$T$ para 2 qubits o la forma de la matriz de densidad para qubits generales (y si es lo último, ¿cuál es exactamente su pregunta)?

abogado de ninguno

@NorbertSchuch Sí, estoy buscando condiciones en Matrix

T

$T$ . La única condición que conozco es que el valor propio máximo de

T^{t} T

$T^tT$ debería ser 1 y no puedo probar ni siquiera esa condición. Básicamente, mi pregunta es si ¿qué condiciones se imponen a

T

$T$ si (1) es una matriz de densidad válida.

Norberto Schuch

Hablando de los valores propios de

T

$T$ probablemente no da un criterio:

T

$T$ ni siquiera tiene que ser diagonalizable; y por el contrario, se puede escribir fácilmente un triángulo superior

T

$T$ con diagonal cero (es decir, valores propios

0

$0$ ) que no describe un positivo

ρ

$\rho$ .

Respuestas (1)

Cómo escribir una matriz de densidad genérica para un sistema multi qubit

¿Cuál es tu pregunta? las condiciones en $T$ para 2 qubits o la forma de la matriz de densidad para qubits generales (y si es lo último, ¿cuál es exactamente su pregunta)?
@NorbertSchuch Sí, estoy buscando condiciones en Matrix $T$ . La única condición que conozco es que el valor propio máximo de $T^tT$ debería ser 1 y no puedo probar ni siquiera esa condición. Básicamente, mi pregunta es si ¿qué condiciones se imponen a $T$ si (1) es una matriz de densidad válida.
Hablando de los valores propios de $T$ probablemente no da un criterio: $T$ ni siquiera tiene que ser diagonalizable; y por el contrario, se puede escribir fácilmente un triángulo superior $T$ con diagonal cero (es decir, valores propios $0$ ) que no describe un positivo $\rho$ .

Norberto Schuch · Answer 1

http://arxiv.org/abs/quant-ph/9607007 discute las condiciones necesarias en $T$ (más precisamente, en sus valores singulares) para $\rho$ ser positivo. Sin embargo, no parecen derivar condiciones suficientes.

La idea básica es que se puede realizar una rotación $U_A$ y $U_B$ en los dos qubits, respectivamente, que transforma correspondientemente $r\mapsto O_Ar$ , $s\mapsto O_Bs$ , y $T\mapsto O_A T O_B^T$ . Por elección $O_A$ y $O_B$ que dan la descomposición en valor singular de $T$ , se encuentra que cualquier $\rho$ en su formulario (1) puede ser reemplazado por uno con una diagonal $T$ , con los valores singulares del original $T$ en la diagonal

Ahora, uno puede usar diferentes "estados de prueba" $\vert\psi\rangle$ y comprobar si $\langle\psi\vert \rho\vert\psi\rangle\ge0$ (que es necesario para la positividad de $\rho$ ). Mediante el uso de los estados de Bell (para los cuales el $r$ y $s$ desaparición parcial), se obtienen restricciones no triviales sobre $T$ .

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