Demostrando identidades interesantes para una integral involucrando producto de funciones hipergeométricas confluentes.

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Demostrando identidades interesantes para una integral involucrando producto de funciones hipergeométricas confluentes.

cálculo
integración
Matemáticas
función gamma
función hipergeométrica

usuario

Mientras trabajaba en un problema me encontré con el siguiente resultado interesante.

Dejar:

H_{norte metro} (X) = \int_{0}^{\infty} t^{X - 1} {mi}^{- t} registro t F (- norte; X; t) F (- metro; X; t) d t,

$H_{nm}(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\log t\;F(-n;x;t)F(-m;x;t)\;dt,$ dónde

n, m

$n,m$ son números enteros no negativos,

x

$x$ es un número real positivo y

F (a; b; t) = \sum_{k \geq 0} \frac{a^{\bar{k}}}{b^{\bar{k}}} \frac{t^{k}}{k!}

$F(a;b;t)=\sum_{k\ge0}\frac{a^{\overline k}}{b^{\overline k}}\frac{t^k}{k!}$ es la función hipergeométrica confluente.

Como la integral es simétrica con respecto a la permutación de $n$ y $m$ en lo que sigue $n\ge m$ se supone.

Por evidencia numérica, la integral se evalúa a los siguientes valores simples:

\begin{matrix} (1) & H_{norte metro} (X) = \frac{norte! Γ^{2} (X)}{Γ (X + norte)} \times {\begin{cases} ψ (X + norte), & norte = metro; \\ \frac{1}{metro - norte}, & norte \neq metro . \end{cases} \end{matrix}

$H_{nm}(x)=\frac{n!\;\Gamma^2(x)}{\Gamma(x+n)}\times \begin{cases} \displaystyle\psi(x+n),& n=m; \\ \displaystyle\frac1{m-n},&n\ne m. \end{cases}\tag1$ dónde

Γ (x)

$\Gamma(x)$ y

ψ (x)

$\psi(x)$ son las funciones gamma y digamma, respectivamente.

¿Existe una forma sencilla de probar las relaciones? $(1)$ ?

Respuestas (1)

Demostrando identidades interesantes para una integral involucrando producto de funciones hipergeométricas confluentes.

Pablo Enta · Answer 1

Las funciones hipergeométricas confluentes están relacionadas con los polinomios de Laguerre generalizados :

\begin{aligned} F (- norte; X; t) & = \frac{Γ (norte + 1) Γ (X)}{Γ (X + norte)} L_{norte}^{(X - 1)} (t) \end{aligned}

$\begin{align} F(-n;x;t)&=\frac{\Gamma(n+1)\Gamma(x)}{\Gamma(x+n)}L_n^{(x-1)}(t) \end{align}$ entonces

H_{norte, metro} (X) = \frac{norte! metro! Γ^{2} (X)}{Γ (X + norte) Γ (X + metro)} \int_{0}^{\infty} t^{X - 1} {mi}^{- t} en t L_{norte}^{(X - 1)} (t) L_{metro}^{(X - 1)} (t) d t

$\begin{equation} H_{n,m}(x)=\frac{n!m!\Gamma^2(x)}{\Gamma(x+n)\Gamma(x+m)}\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\ln t L_n^{(x-1)}(t)L_m^{(x-1)}(t)\,dt \end{equation}$ La relación de ortogonalidad para los polinomios de Laguerre dice

\int_{0}^{\infty} t^{X - 1} {mi}^{- t} L_{norte}^{(X - 1)} (t) L_{metro}^{(X - 1)} (t) d t = \frac{Γ (norte + X)}{norte!} d_{norte, metro}

$\begin{equation} \int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}L_n^{(x-1)}(t)L_m^{(x-1)}(t)\,dt=\frac{\Gamma(n+x)}{n!}\delta_{n,m} \end{equation}$ Se puede diferenciar con respecto a

x

$x$ para obtener

\int_{0}^{\infty} t^{X - 1} {mi}^{- t} en t L_{norte}^{(X - 1)} (t) L_{metro}^{(X - 1)} (t) d t + \int_{0}^{\infty} t^{X - 1} {mi}^{- t} \frac{d}{d X} [L_{norte}^{(X - 1)} (t) L_{metro}^{(X - 1)} (t)] d t = \frac{Ψ (norte + X) Γ (norte + X)}{norte!} d_{norte, metro}

$\begin{equation} \int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\ln t L_n^{(x-1)}(t)L_m^{(x-1)}(t)\,dt+\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\frac{d}{dx}\left[L_n^{(x-1)}(t)L_m^{(x-1)}(t)\right]\,dt=\frac{\Psi(n+x)\Gamma(n+x)}{n!}\delta_{n,m} \end{equation}$ De la relación de diferenciación

\frac{d}{d X} L_{norte}^{(X - 1)} (t) = \sum_{k = 0}^{norte - 1} \frac{L_{k}^{(X - 1)} (t)}{norte - k}

$\begin{equation} \frac{d}{dx}L_n^{(x-1)}(t)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{L_k^{(x-1)}(t)}{n-k} \end{equation}$ y reconociendo la definición de

H_{n, m} (x)

$H_{n,m}(x)$ , tenemos así

\begin{aligned} \frac{Γ (norte + X) Γ (metro + X)}{norte! metro! Γ^{2} (X)} H_{norte, metro} (X) & + \sum_{k = 0}^{norte - 1} \frac{1}{norte - k} \int_{0}^{\infty} t^{X - 1} {mi}^{- t} L_{k}^{(X - 1)} (t) L_{metro}^{(X - 1)} (t) d t \\ + \sum_{k = 0}^{metro - 1} \frac{1}{metro - k} \int_{0}^{\infty} t^{X - 1} {mi}^{- t} L_{k}^{(X - 1)} (t) L_{norte}^{(X - 1)} (t) d t \\ = \frac{Ψ (norte + X) Γ (norte + X)}{norte!} d_{norte, metro} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\Gamma(n+x)\Gamma(m+x)}{n!m!\Gamma^2(x)}H_{n,m}(x)&+\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n-k}\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}L_k^{(x-1)}(t)L_m^{(x-1)}(t)\,dt\\ &+\sum_{k=0}^{m-1}\frac{1}{m-k}\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}L_k^{(x-1)}(t)L_n^{(x-1)}(t)\,dt\\ &=\frac{\Psi(n+x)\Gamma(n+x)}{n!}\delta_{n,m} \end{align}$ usando la relación de ortogonalidad y suponiendo que

n > m

$n> m$ , solo sobrevive un término en las sumas, mientras que no hay ningún si

n = m

$n=m$ :

\frac{Γ (norte + X) Γ (metro + X)}{norte! metro! Γ^{2} (X)} H_{norte, metro} + \frac{1}{norte - metro} \frac{Γ (metro + X)}{metro!} (1 - d_{norte, metro}) = \frac{Ψ (norte + X) Γ (norte + X)}{norte!} d_{norte, metro}

$\begin{equation} \frac{\Gamma(n+x)\Gamma(m+x)}{n!m!\Gamma^2(x)}H_{n,m}+\frac{1}{n-m}\frac{\Gamma(m+x)}{m!} \left( 1-\delta_{n,m} \right)=\frac{\Psi(n+x)\Gamma(n+x)}{n!}\delta_{n,m} \end{equation}$ que es la expresión propuesta.

Esta es una muy buena prueba. ¡Muchas gracias! He corregido algunas pequeñas inexactitudes que se habían cancelado mutuamente en la derivación. Espero que no te importe.

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Pablo Enta

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