¿Existen funciones beta exactas en las teorías de (super)gravedad y la teoría de cuerdas?

Presentaré el ejemplo más simple de funciones beta que surgen en la teoría de cuerdas, específicamente dentro de la teoría de cuerdas bosónica. Los estados se transforman en el$24 \otimes 24$representacion de$SO(24)$, equivalente a tres representaciones irreducibles; esquemáticamente,

$$(\mathrm{traceless \;symmetric} )\otimes (\mathrm{antisymmetric}) \otimes (\mathrm{singlet})$$

A cada uno le asociamos un campo sin masa, el dilatón escalar$\Phi(X)$, un campo$G_{\mu\nu}(X)$y otro comúnmente denotado el campo Kalb-Ramond,$B_{\mu\nu}$lo que puede interpretarse como una generalización del potencial 4 en electromagnetismo. Tenga en cuenta estos campos 'en vivo' en la hoja de mundo de la cadena. La acción de una cadena en el fondo de estos campos viene dada por,

$$S = \frac{1}{4\pi \alpha'}\int \! \mathrm{d}^2 \sigma \, \sqrt{|g|} \, \left[ G_{\mu\nu} \partial_\alpha X^\mu \partial_\beta X^\nu g^{\alpha \beta} +i B_{\mu \nu}\partial_\alpha X^\mu \partial_\beta X^\nu \epsilon^{\alpha \beta} + \alpha' \Phi R^{(2)}\right]$$

Podemos calcular las funciones beta de la teoría de cuerdas de la manera estándar, que están dadas por$^{\dagger}$,

$$\beta_{\mu\nu}(G) = \alpha'R_{\mu\nu} + 2\alpha'\nabla_\mu\nabla_\nu \Phi - \frac{\alpha'}{4}H_{\mu\lambda \kappa}H^{\lambda \kappa}_\nu$$

$$\beta_{\mu\nu}(B) = -\frac{\alpha'}{2}\nabla^\lambda H_{\lambda\mu\nu} + \alpha' \nabla^\lambda \Phi H_{\lambda \mu \nu}$$

$$\beta(\Phi) = -\frac{\alpha'}{2}\nabla^2 \Phi + \alpha' \nabla_\mu \Phi \nabla^\mu \Phi -\frac{\alpha'}{24}H_{\mu\nu\lambda}H^{\mu\nu\lambda}$$

Para preservar la invariancia de la escala, debemos exigir que todos estos desaparezcan. Por lo tanto, podemos construir una acción, conocida como la acción efectiva de baja energía de la teoría de cuerdas bosónica, cuyas ecuaciones de movimiento son equivalentes a las funciones beta, es decir

$$S=\frac{1}{2\kappa^2_0} \int \! \mathrm{d}^{26}X \, \sqrt{|G|} \, e^{-2\Phi} \, \left( R - \frac{1}{12}H_{\mu\nu\lambda}H^{\mu\nu\lambda} + 4 (\partial_\mu \Phi)^2 \right)$$

Por lo tanto, las funciones beta pueden verse como ecuaciones de movimiento. Observe que la acción toma la forma conveniente de la acción de Einstein-Hilbert, con un campo escalar de 2 formas acoplado a la gravedad. (Una transformación al marco de Einstein hace esto evidente).

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$\dagger$Beta funciona solo para un orden de bucle. Los cálculos de orden superior dan lugar a correcciones adicionales a las ecuaciones de campo de Einstein; en un orden de bucle están de acuerdo,$\alpha' R_{\mu\nu}=0$. El campo$H$es una fuerza de campo; en formas,$H = \mathrm{d}B$.

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Recursos:

1. Para obtener una derivación completa de las funciones beta, consulte las notas de clase de TASI de Sigma Models and String Theory de Callan y Thorlacius.
2. La Teoría M y la Teoría de Cuerdas de Becker, Becker y Schwarz brindan una discusión de las soluciones a las ecuaciones de movimiento de acciones efectivas de baja energía, incluidos los agujeros negros de dimensiones superiores.

@Ten La función beta NSVZ también existe para teorías con materia. Simplemente lea atentamente el artículo de Scholarpedia. Lo que sucede es que la función beta de NSVZ para las constantes de acoplamiento de calibre depende de las dimensiones anómalas de los campos de materia.

Un muy buen ejemplo es considerar$\mathcal{N}=4$teoría SYM y escríbala como un$\mathcal{N}=1$teoría -- el espectro consiste entonces en uno$\mathcal{N}=1$multiplete vectorial y tres multipletes quirales. Deforme el superpotencial en el superpotencial cúbico más general. Leigh y Strassler usan la desaparición de la función beta NSVZ para el acoplamiento de calibre impone una restricción adicional de que las dimensiones anómalas de los escalares quirales deberían desaparecer, lo que conduce a una teoría que es conforme con$\mathcal{N}=1$supersimetría. Esta teoría generaliza la deformación beta de$\mathcal{N}=4$SIM. Hay muchos más ejemplos en su artículo. Dos artículos más de Arkani-Hamed y Murayama proporcionarían más ejemplos. Documento 1 y Documento 2 .

(@Ten Me doy cuenta de que quiere ejemplos de teoría de cuerdas/supergravedad, pero es importante tener en cuenta la generalidad de la función beta de NSVZ. Así que publicaré mi respuesta. Espero que no le importe. Si es así, hágamelo saber y Borraré mi respuesta. Por supuesto, uno sabe que cualquier CFT bidimensional tiene una función beta que se desvanece).